Chapitre 8 : en guise de conclusion

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Que peut-on conclure au terme de ce voyage au pays des fractales et du chaos ?

 Que la principale conséquence de la découverte du chaos par Poincaré est un changement de point de vue.

Les grandes découvertes sont toujours des changements de points de vue : une nouvelle façon de voir, qui semble souvent évidente une fois connue, s’avère plus pratique et plus efficace que l’ancienne, et elle est progressivement adoptée (les nouvelles générations adoptant spontanément la nouvelle vision, c’est la sélection naturelle !). Galilée est l’inventeur d’une nouvelle vision expérimentale de la physique, et il est plus simple et plus explicatif de mettre le soleil au centre de l’univers. Newton explique que le mouvement de chute de la pomme et celui de la lune autour de la terre ont même origine, ce qui amène à une nouvelle vision de l’univers. Einstein relie l’espace et le temps et réconcilie la mécanique et l’électromagnétisme. La mécanique quantique unifie ondes et particules en un objet universel qui est le quanton, indispensable pour l’étude de l’atome.

Le changement de point de vue initié par le chaos est une nouvelle attitude vis-à-vis de la prévision des phénomènes.

Mais revenons d’abord sur les deux notions fondamentales du chaos que sont le hasard et l’instabilité.

Le hasard

Qu’entend-on exactement par hasard ?  C’est une opération dont le résultat est aléatoire, ou plutôt semble aléatoire : on citera le tirage des dés, la roulette du casino ou le tirage de la tombola.

La main innocente qui tire un numéro dans le sac de la tombola a choisi le papier, c’est elle qui l’a décidé, et il n’y a là rien d’aléatoire, mais le hasard réside dans le fait qu’elle n’a aucune information sur le contenu du papier ; les deux faits, choix du papier et numéro du billet, sont complètement déconnectés ; il s’agit bien d’un tirage au hasard.

Le hasard physique est plutôt du côté du lancer de dé ; celui-ci obéit aux lois de la mécanique Newtonienne, et, si le dé était lancé par une machine réglée très précisément, on pourrait prévoir le résultat du lancement. En fait, on ne peut prévoir le résultat que parce que l’on n’est pas maître des conditions initiales : même avec beaucoup d’entraînement, un champion de dés n’arrivera pas à ne faire que des 6 ! Le résultat du lancer est aléatoire parce que nous n’arrivons pas à le prédire ; il est en fait parfaitement déterministe, mais extrêmement sensible aux conditions initiales que nous ne maîtrisons pas. Or l’on ne maîtrise pas les fluctuations infinitésimales d’un système physique. Le hasard physique réside dans la sensibilité aux conditions initiales. 

Lorsque l’on demande à un ordinateur de produire une série de nombres au hasard, il calcule ces nombres par une application tout ce qu’il y a de plus déterministe, mais de période très longue, si bien que la suite ne se reproduira identique à elle-même qu’au bout d’un temps extrêmement long (la plupart des programmes sortent un nombre à 12 chiffres qu’il faut diviser par 1012 pour avoir un nombre aléatoire compris entre 0 et 1). Cette application sort des nombres qui doivent être à peu près déconnectés et tels que la probabilité d’occurrence soit de 0,1 pour les 10 chiffres. D’ailleurs, si l’on sort du programme et qu’on redemande à l’ordinateur une nouvelle liste, il ressort la même ! C’est dire qu’il faut se méfier de ce que l’ordinateur appelle hasard : c’est en fait quelque chose qui ressemble au hasard, mais qui est produit par une application déterministe.

Stabilité et instabilité

La structure intime de l’univers est gouvernée par la dialectique : elle oscille toujours entre deux pôles : le fini et l’infini, le continu et le discontinu, la vie et la mort, le bien et le mal, le masculin et le féminin, le ying et le yang... La relativité rend inséparables l’espace et le temps, la mécanique quantique associe les variables 2 à 2 : le temps et l’énergie, la position et la quantité de mouvement. Les systèmes dynamiques sont gouvernés par le couple ordre et désordre, associé au couple stable et instable.

Une position d’équilibre est stable si le système, écarté un peu de sa position d’équilibre, y revient spontanément. Elle est au contraire instable si, écarté de sa position d’équilibre, le système s’en éloigne. C’est la bille posée au fond d’un trou, ou, au contraire, au sommet d’une bosse. Ce qui est important dans ce dernier cas, c’est qu’il y a plusieurs chemins différents que peut emprunter la bille. S’il s’agit d’une bosse dans un plan, la bille pourra partir à droite ou à gauche ; si la bosse est dans l’espace, toutes les directions sont possibles, et il y a une infinité de choix possibles. On peut aussi représenter le point instable comme un écoulement qui se divise en deux. Au point de séparation, la moindre fluctuation fait passer le point d’un côté ou de l’autre.

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Ceci n’est pas sans rapport avec le principe de Curie.

Rendons hommage à Pierre Curie, souvent dans l’ombre de son épouse Marie : c’est lui qui a énoncé ce principe. Comme tous les principes, il ne se démontre pas et paraît évident au premier abord. Il dit que, si une cause est symétrique, l’effet de la cause présentera les mêmes propriétés de symétrie. Mais il y a une exception, qui a pris la plus grande importance dans la physique moderne, c’est la brisure spontanée de symétrie : dans le cas où le problème qui présente la symétrie possède plusieurs solutions, chaque solution perd individuellement la symétrie de la cause, et c’est l’ensemble des solutions qui possède cette symétrie ; le choix d’une solution brise la symétrie, c’est là l’essence du mécanisme de brisure spontanée de symétrie.

Prenons quelques exemples : si on enfonce une aiguille verticalement et que l’on appuie fortement dessus, elle va finir par se tordre dans un plan particulier. Il y avait au départ invariance du système autour d’un axe vertical : le choix (par hasard, ou par suite d’un défaut de l’aiguille) d’un plan particulier a brisé la symétrie du système.

Weinberg, physicien théoricien américain, citait cet exemple : soit des convives autour d’une table ronde ; ils ont devant eux un pain à droite et un pain à gauche ; le premier qui touche à un pain, celui qui est à sa droite par exemple, oblige tous les autres convives à faire de même. Il a brisé la symétrie du système par choix d’une des deux solutions.

Mais revenons à l’instabilité. Un système instable a toujours plusieurs solutions possibles pour s’éloigner. Il suffit d’un hasard (en physique, cela s’appelle une fluctuation), pour que le système choisisse un des chemins. Il aurait pu en prendre un autre, mais c’est celui-là qui a été choisi. Le système est devenu historique, son destin ultérieur dépend désormais du choix effectué lors de la bifurcation. Une application chaotique navigue au milieu de points instables ; elle fait donc des choix à tout instant (ou plutôt c’est l’ordinateur qui les fait pour elle). Son cours varie à tout instant, nous pouvons la suivre, mais non la précéder. J’exagère : nous pouvons la précéder un moment, mais il faudra souvent l’attendre pour repartir de sa position exacte. 

Dans l’application logistique, du fait du terme en , le nombre de décimales double à chaque itération (par exemple, si k = 4, en partant de 0.21, on obtient pour itérés successifs .21, .6636, .89294016, .3823921226]366976, .9446735487]2839369168800706461696 où l’on a mis un crochet après la 10ième décimale) ; c’est dire que l’ordinateur est amené très vite à faire des arrondis (il travaille en général avec 10 chiffres et arrondit le 10ème à l’entier inférieur si le 11ème chiffre termine par 0, 1, 2, 3 ou 4 et à l’entier supérieur dans les autres cas). Si le point est très proche d’un point instable, l’arrondi va le faire basculer d’un côté ou de l’autre, et la suite de la trajectoire va dépendre de ce choix sur lequel nous n’avons aucune prise.

Reprenons l’exemple de l’application logistique, l’ordinateur calculant avec 10 chiffres ; en partant de 0,21, on trouve :

.21, .6636, .89294016, .3823921226, .9446735488 ; dans le dernier itéré, le 7 à la 10ième place du calcul exact s’est transformé en 8, et, si le point instable était  .94467354874 par exemple (arrondi  à .9446735487), le calcul exact passe à gauche (il est plus petit), tandis que le calcul approché de l’ordinateur passe à droite (il est plus grand), ce qui peut changer entièrement la suite des itérés. La trajectoire est très rapidement imprédictible.

Pour avoir du chaos, il faut que l’itération fasse appel à de plus en plus de décimales, d’une part, et qu’il n’y ait ni point fixe, ni point périodique stable, d’autre part.

Les enseignements

Nous pouvons retirer un certain nombre d’enseignements de l’étude du chaos, qui concernent notre façon de penser, y compris dans la vie quotidienne.

La façon habituelle

Beaucoup de systèmes, et notamment de systèmes naturels passent très facilement d’un régime régulier à un régime chaotique lorsque l’on augmente l’excitation : citons les écoulements des fluides passant d’un régime laminaire à un régime turbulent, les mouvements atmosphériques, les mouvements de foule. D’où les difficultés de la prévision : pensons aux prévisions économiques ou à celles du prix du pétrole par exemple. D’où l’arrogance de ceux qui veulent tout expliquer : soyons humbles, car tout ce qui est chaotique est imprédictible et c’est le régime habituel des phénomènes naturels. Il y a une limitation fondamentale de la physique prédictive.

Il faut apprendre à penser en termes non linéaires, ce que ne fait pas l’enseignement traditionnel pour lequel " il n’y a pas de problèmes, il n’y a que des solutions ", et on pourrait ajouter : que des solutions analytiques ; l’enseignement de la physique repose encore sur le postulat que les seules solutions intéressantes sont les solutions qui se trouvent grâce à des formules déduites du calcul, les autres solutions étant écartées puisque non calculables. Une expérience qui ne mène pas à des solutions régulières est une expérience ratée, elle n’a pas marché et il faut la recommencer ; on ne risque pas d’étudier le régime chaotique, puisqu’il est mis à l’écart à priori. D’où un tri des phénomènes physiques, qui conduit à n’étudier que des cas particuliers. Bien peu avant Poincaré ont pris conscience de ce fait.

Supposons que l’on veuille connaître la millionième décimale d’un nombre. Si le nombre est rationnel, son développement décimal est périodique ; par exemple, on a 11/1258 = 0,0[087440381558028616852146263910969793322734499205][08744…. et on a une période de 48 chiffres ; on divise 999999 (en retirant le 0 juste après la virgule) par 48 et le reste est 15 ; la millionième décimale est donc la 15ième de la période, soit 8. Si l’on désire faire la même opération sur un nombre irrationnel, c’est alors beaucoup moins simple, car il n’existe aucune règle permettant de la calculer ; il n’y a aucune périodicité dans le développement. Pour les nombres irrationnels bien connus, comme  ou p, on connaît des algorithmes qui permettent de calculer de proche en proche les décimales. On pourra résoudre le problème avec un ordinateur, mais avec beaucoup d’effort.

Pour avoir les 100 premières décimales de p, on pourra par exemple utiliser l’algorithme suivant (méthode de Salamin) :

a:=1: b:=1/ : s:=1: u:=2: pour i de 1 à 7 faire

 c:=(a+b)/2: b:= : a:=c: u:=2*u: s:=s-u*(a*a-b*b):

écrire (4*a*a/s)

Pour aller à la 100ième décimale, il faut travailler avec 106 chiffres significatifs ; l’ordinateur le fait en quelques secondes et trouve : 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068. Les trois derniers chiffres sont faux. Le record du monde était en 1995 Y.Kanada qui en était à trois milliard de décimales.

Dans le premier cas (celui des nombres rationnels), il existe une règle permettant de calculer directement l’état final à partir de l’état initial ; c’est le cas des problèmes intégrables (les "chouchous" de l’enseignement), comme le pendule simple ou le problème de Newton de deux corps en interaction. Le système est fortement compressible et son comportement est prédictible.

Dans les autres cas, et ce sont les plus nombreux, les problèmes ne sont pas intégrables (c’est déjà le cas du problème à trois corps), bien que parfaitement déterministes grâce aux équations différentielles du mouvement : on ne peut que suivre pas à pas le mouvement à l’ordinateur. C’est dire que, sans l’aide de l’ordinateur, on ne peut pratiquement rien faire : rien d’étonnant dans ces conditions que ces problèmes aient été évacués par les anciens ! Et que la physique, censée expliquer l’univers, n’ait que si peu d’influence sur l’étude des êtres vivants, non linéaires par excellence. Le système est faiblement compressible et son comportement est imprédictible dans le détail, même si l’on peut connaître son comportement moyen ou typique .

Enfin, certains systèmes, comme le tirage de la tombola, sont incompressibles : la seule façon de connaître le comportement du système est de le faire tourner. Il n’existe aucun moyen plus rapide de trouver le résultat.

Déterminisme et prédictibilité

Je ne peux m’empêcher de citer le texte de Pierre Simon de Laplace, qui résume trois siècles de science Newtonienne triomphante :

"Une intelligence qui, pour un instant donné, connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée et la situation actuelle des êtres qui la composent, si d’ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces forces à l’analyse, embrasserait dans la même formule les mouvements des plus grands corps de l’univers et ceux du plus petit atome : rien ne serait incertain pour elle, et l’avenir comme le passé seraient présents à ses yeux".

Vaste programme, totalement irréaliste, et, de plus, faux ! Il faudrait pour cela une connaissance parfaite des lois à tous les niveaux (on en est loin), et également une connaissance parfaite des conditions initiales ; or nous sommes incapables de connaître les décimales d’un nombre irrationnel !

La science a maintenant d’elle-même (ou devrait avoir) une vision beaucoup plus modeste.

Propriétés émergentes

Les systèmes physiques sont le plus souvent non linéaires. Même le ressort, paradigme du système linéaire, se comporte non linéairement si l’on tire trop fort ! Et il suffit parfois d’un rien pour qu’un moteur construit par l’homme ne marche plus du tout, comportement non linéaire par excellence !

Un trait caractéristique des systèmes non linéaires est que l’effet n’est pas proportionnel à la cause : un petite cause peut entraîner un grand effet, et même une " catastrophe " au passage d’une bifurcation. Car un système non linéaire possède des changements qualitatifs de régime au passage des bifurcations, et des " révolutions ", comme les changements de phase ou le passage au chaos, lors de cascades de bifurcations. Lors de ces passages apparaissent des propriétés émergentes, que possède le système collectif, mais que ne possédaient pas les objets individuels. D’où l’apparition d’une hiérarchie de structures, bien visible en particulier chez les êtres vivants.

L’application logistique nous apprend qu’une règle très simple peut mener à des résultats très complexes. Inversement, un résultat simple découle parfois de règles complexes. La vie est effroyablement complexe ; l’usine chimique que constitue un être vivant, synthétise à tout instant des centaines de composés organiques complexes, qui nécessitent un tri, un transport et une régulation extrêmement fins. Il est possible que les règles de construction du vivant soient pourtant très simples.

Des avantages du chaos

Disons enfin que le régime chaotique présente un certain nombre d’avantages, largement mis à profit par la nature. L’un de ces avantages est une exploration très rapide de l’espace de phases, ou parfois de l’espace tout court. Songeons à la recherche de nourriture des fourmis ou des insectes ressemblant à un mouvement brownien, aux techniques de construction de nid des oiseaux ou des termites, faisant appel à des mécanismes simples ne nécessitant pas de plan d’ensemble, ou au chien qui court en tous sens pour explorer le maximum d’espace.

Le régime chaotique est le plus efficace en réponse à une variation brusque. Lorsqu’on demande à un robinet de laisser passer beaucoup d’eau, il adopte le régime turbulent ; une trop brutale variation de pression amène une tempête.

Un autre avantage est l’efficacité des moteurs naturels, très différents des moteurs fabriqués par l’homme, qui fabrique chaque pièce en fonction du but à atteindre, alors que le nature travaille par hasard et sélection naturelle : quelle perfection pourtant que la course d’un bel animal !


 

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