Chapitre 7 : oscillateurs chaotiques

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Le pendule amorti forcé

Les oscillateurs constituent une autre famille de systèmes pouvant présenter des régimes chaotiques. On se souvient qu’un régime chaotique nécessite une application non linéaire et un espace de phase de dimension au moins égale à 3.

Pour les oscillateurs libres à un seul degré de liberté de position étudiés habituellement, la dimension de l’espace de phase est égale à 2 et il n’y a pas de mouvement chaotique possible. Par contre, un mouvement forcé par un entretien extérieur conduit à une équation différentielle du second ordre avec un second membre dépendant du temps ; la dimension de l’espace de phase est 3 (position, vitesse et temps), susceptible de donner du chaos.

L’équation du pendule simple constitué d’une masse au bout d’un fil accroché en un point fixe, éloignée de la verticale  et lâchée sans vitesse initiale, en l’absence de frottement, est de la forme :

d2q/dt2 +g/l sin(q) = 0

l est la longueur du pendule et g l’accélération de la pesanteur. C’est un mouvement à 2 degrés de liberté (il faut 2 conditions initiales pour résoudre l’équation). Le mouvement d’un pendule simple est toujours régulier, comme on le voit dans l’espace de phase ci-dessous, représentant la vitesse en fonction de l’angle q, le pendule étant parti à l’instant initial de q = 1, avec une vitesse nulle :

 

 

 S’il y a des frottements, le mouvement s’amortit et la masse retourne à sa position d’équilibre, qui est un point fixe attracteur :

 

 

 On pourra par contre avoir un système dissipatif pouvant donner des régimes chaotiques si l’on ajoute un frottement et un entretien ; l’équation sera alors

d2q/dt2 + 2l dq/dt + w02 sin(q) = m sin(w t)

Si l’amplitude m du forçage est faible, le pendule, après un régime transitoire, se met à osciller régulièrement de part et d’autre de sa position d’équilibre, ce qui se traduit par une ellipse dans le plan de phase (q, u), u étant la vitesse :

 

Si le forçage augmente, l’amplitude des oscillations augmente également, et, si celle-ci dépasse un demi-tour, le pendule va pouvoir effectuer des tours complets : il décroche.

On observe alors un régime transitoire chaotique, dont le pendule sort pour se fixer sur un des trois régimes possibles, qui sont, soit un régime d’oscillations régulières, soit un régime où le pendule tourne toujours dans le même sens, dans un sens ou dans l’autre. Le choix du régime final dépend de façon très sensible des conditions initiales et il y a trois bassins d’attraction. C’est un cas de multistabilité.

Pour une certaine valeur m1 du forçage, le système n’arrive pas à se fixer sur l’un des trois régimes précédents et l’attracteur devient chaotique : le système tourne un certain temps dans un sens , puis change brutalement et irrégulièrement de sens.

On prend w =2p de façon à avoir une période égale à 1 et, de même, on pose q = 2px de façon que x=1 corresponde à un tour complet. On identifie les points qui ont même partie fractionnaire, correspondant à la même position physique du pendule.

Traçons l’attracteur de la carte de période-1, qui est une stroboscopie de période égale à celle de l’entretien (ici 1), c’est-à-dire les points de l’espace de phase atteints lorsque le temps est un nombre entier :

 


 

 


La structure fractale en couches fines de l’attracteur se voit d’autant mieux que le nombre de points est plus grand, ce qui allonge le temps de calcul à l’ordinateur. Cette structure est caractéristique du phénomène d’étirement-repliement, opération de mélange menant au chaos. Il faut imaginer le dessin comme s’il était tracé sur un cylindre, en raccordant l’extrémité gauche avec la droite.

Si on trace le même dessin pour une valeur du forçage proche de la valeur m1 de passage au chaos, on obtient la figure suivante :

 


 

 


Les accumulations de points correspondent aux 2 régimes où le pendule tourne dans un sens ou l’autre. On reconnaît l’esquisse de l’attracteur étrange qui est en quelque sorte une suite ininterrompue de transitoires entre les deux régimes où il n’arrive pas à se fixer.

Oscillateur anharmonique forcé

C’est l’oscillateur à deux puits, appelé encore oscillateur de Duffing.

L’équation de l’oscillateur anharmonique libre non amorti est de la forme

d2x/dt2 – x + x3 = 0


Il s’agit d’un oscillateur à deux puits : on a des points fixes pour – x + x3 = 0, soit x = ±1 qui sont des centres pour l’oscillateur non amorti et des puits si celui-ci est amorti, et x = 0, qui est un point-selle.

Le portrait de phase (position en abscisse et vitesse en ordonnée) de l’oscillateur non amorti se présente sous la forme suivante, où l’on a pris plusieurs conditions initiales différentes :

 


 

 


A petite énergie, le point tourne autour de l’un des centres. A énergie plus élevée, il tourne autour des deux centres.

Si l’on considère l’oscillateur amorti avec un frottement fluide, d’équation

d2x/dt2 + 0,1´dx/dt – x + x3 = 0

on obtient le portrait de phase suivant :


 

 


Du fait des frottements, l’énergie mécanique diminue, le point tourne dans le sens des aiguilles d’une montre en se rapprochant ; à un instant donné, il entre dans l’un des deux puits et tourne autour de celui-ci jusqu’à sa position finale au fond du puits. Le système dépendant de deux paramètres, il n’y a pas de chaos possible.

Ce n’est plus le cas si l’on introduit un forçage sinusoïdal, comme c’est le cas pour l’équation

d2x/dt2 + 0,1´ dx/dt – x + x3 =r sin(t)

Avec r = 0,3, on obtient le portrait de phase :

 


 

 


La trajectoire est chaotique. L’oscillateur tourne tantôt autour d’un puits, tantôt autour de l’autre ou autour des deux sans parvenir à se fixer.

On peut tracer l’attracteur de la carte de période-1 de l’oscillateur en prenant un forçage de période 1 de la forme 3 sin(2pt) et en prenant la position du pendule dans l’espace de phase à tous les instants 0, 1, 2, 3…

 


 

 

 


C’est l’attracteur étrange de Duffing ; là encore, on reconnaît la structure en feuilles caractéristique du mélange menant au chaos.

Pour r = 2,6, on a un régime régulier où l’oscillateur, en 3 secondes, fait le dessin suivant :

 


 

 

 


Dans la carte de période-1, cela correspond à 3 points :

 


 

 

 


Pour une valeur comprise entre 2,6 et 2,7, l’oscillateur devient instable et se met à circuler entre les points, dessinant l’attracteur étrange.

Le pendule paramétrique

Le pendule paramétrique non amorti a pour équation générale

d2q/dt2 + w02(1 + h(t)) sin(q) = 0

On obtient cette équation lorsque l’un des paramètres du pendule subit une modification au cours du temps, par exemple pour un pendule simple dont le point d’attache oscillerait selon la verticale. C’est également le cas d’une aiguille aimantée soumise à deux champs magnétiques de même direction, l’un constant et l’autre sinusoïdal.

Si h(t) est de la forme h(t) = r sin( w t ), on obtient l’équation

d2q/dt2 + w02(1 +r sin( w t )) sin(q) = 0

Lorsque w = 2 w0, cela revient à la balançoire que deux personnes poussent chacun d’un côté ; il y a résonance paramétrique quand la fréquence de l’excitateur est le double de la fréquence propre du pendule :

 


 

 

 

 


Lorsque l’amplitude est faible, l’excitateur donne de l’énergie au pendule et l’amplitude de celui-ci augmente. Mais le période du pendule augmente elle aussi avec l’amplitude, ce qui fait que l’excitateur se décale peu à peu et finit par travailler à contre-temps ; l’amplitude décroît, et, lorsqu’elle redevient faible, le cycle recommence. On obtient des battements, sorte de modulation d’amplitude.

En présence d’amortissement, les battements diminuent rapidement et on arrive au régime forcé d’amplitude constante :

 


 

 

 


La période des oscillations est le double de celle de l’excitateur. Si l’on augmente l’amplitude r de l’excitateur, l’amplitude du pendule augmente également, et, du fait des transitoires, l’angle peut dépasser la valeur p ; le pendule décroche.

Comme dans le cas du pendule forcé, on observe trois régimes possibles suivant les conditions initiales : des oscillations régulières à une période double de celle de l’excitateur, un régime où le pendule tourne toujours dans le même sens à la fréquence de l’excitateur et un régime identique en sens contraire. Il y a multistabilité, avec coexistence de plusieurs attracteurs :

 


 

 


Ci-dessus, un exemple des 3 régimes, la courbe qui monte correspondant à l’aiguille tournant toujours dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, la courbe qui descend dans le sens des aiguilles et celle du milieu montrant un régime d’oscillations régulières avec une période double des régimes précédents.

Si r augmente encore, le pendule n’arrive plus à se fixer sur l’un des trois régimes, mais saute constamment de l’un à l’autre du fait des transitoires : la trajectoire devient chaotique. Avec r = 3, on obtient par exemple la trajectoire chaotique suivante (une variation de 2p pour x correspond à un tour) :

 


 

 

 


Avec w = 2p correspondant à une période de 1, et q  changé en 2p q de façon que le cercle entier corresponde à q = 1 , on trace l’attracteur étrange de la carte de temps-1, vue stroboscopique  du point pour les temps entiers (on identifie les points ayant même position physique) :

 


 

 

 


Aiguille dans deux champs magnétiques

 

On peut également obtenir un mouvement chaotique avec une aiguille aimantée soumise à deux champs magnétiques, l’un fixe et l’autre tournant avec une pulsation w. A un instant considéré, l’aiguille fait un angle q avec le champ fixe, et, l’angle du champ tournant avec le champ fixe étant wt, un angle wt - q avec le champ tournant ; d’où, le moment de la force magnétique étant , on a l’équation, obtenue en projetant sur l’axe perpendiculaire au plan du mouvement

Jd2q /dt2 = -mB0 sin(q)-mB1 sin(w t-q)

pour le pendule non amorti.

En posant q = 2px pour avoir une période 1 pour x, et pour le temps une période égale à 2, on obtient, avec un frottement fluide et des coefficients convenables: d2 x/dt2 = 2p (-cdx/dt – sin(2px)-r sin(p t-2px)) avec r = B1 /B0 :

 


 

 


La courbe supérieure correspond à r = 0,4 ; la période est de 2 ; c’est la période du champ tournant.

La courbe du milieu correspond à r = 0,67 et la période est de 4 (de 85 à 89 par exemple).

La courbe inférieure correspond à r = 0,68 et la période a encore doublé (de 86 à 94 par exemple) ; elle est 4 fois la période du champ tournant. On observe le scénario de doublement de période. Pour r = 0,7, le mouvement est chaotique ; il oscille irrégulièrement et saute de temps en temps un ou plusieurs tours :

 


 


Traçons, pour r = 0,7, l’attracteur de la carte de temps-2, noté A (stroboscopie à la période du champ tournant) :

 


 

 


Pour une valeur de r voisine de 0,725, la boussole a tendance à s’accrocher sur le champ tournant : l’attracteur grandit brusquement et devient l’attracteur B : il subit une crise :

 


 

 


Trajectoires d’une boule de billard

La trajectoire d’une boule qui rebondit entre deux parois obéit à la loi de Descartes de la réflexion (angle de réflexion égal à l’angle d’incidence).

Si la boule rebondit entre deux cercles concentriques, on obtient le dessin suivant :

 

L’erreur initiale est multipliée par 2 à chaque réflexion, mais le mouvement n’est pas chaotique, car la corrélation subsiste entre les deux mouvements ; la prévision du mouvement futur est toujours possible.

Ce n’est plus le cas si la boule rebondit entre un cercle et un carré de même centre :

 

 

Cette fois, le mouvement est chaotique ; la boule part du point (2,0) et son mouvement ultérieur est rapidement imprédictible. Si deux boules partent avec des conditions initiales voisines, leurs mouvements sont rapidement déconnectés. La cause en est due aux quatre coins du carré : lorsque les boules passent de part et d’autre d’un coin, elles se séparent complètement. Les coins se comportent comme des points repousseurs qui écartent les trajectoires.


 


 

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