Chapitre 6 : attracteurs étranges

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L’application logistique du chapitre précédent est un exemple extrêmement utile et instructif de mouvement chaotique, sur lequel on voit le mécanisme d’étirement-repliement  et le scénario de doublement de période. Ce n’est certainement pas un modèle réaliste pour les phénomènes naturels, qui ne font que rarement intervenir une seule variable. On va s’intéresser dans ce chapitre aux mouvements à plusieurs dimensions, essentiellement 2 ou 3.

Les phénomènes que l’on va étudier sont dissipatifs, c’est-à-dire soumis à quelque sorte de frottement, et ils perdent constamment de l’énergie. Dans le cas contraire, ils sont dits hamiltoniens. Les systèmes naturels sont tous plus ou moins dissipatifs, mais, si la dissipation d’énergie est très lente, on les considérera comme hamiltoniens. C’est le cas, par exemple, des corps célestes de grande masse. Si un système dissipatif n’est pas rechargé en énergie, celle-ci va se dissiper, et le système va tendre vers un état d’équilibre qui sera un état de repos.

Si  le système est entretenu, c’est-à-dire rechargé en énergie, il va tendre, après un régime transitoire dépendant des conditions initiales, vers un régime permanent, ou forcé, ne dépendant pas des conditions initiales, où perte et gain d’énergie vont s’équilibrer. Celui-ci peut être périodique (ou quasi-périodique avec plusieurs fréquences), mais il peut aussi être chaotique, et donner dans le diagramme de phase un attracteur étrange, qui est la figure spatiale du chaos, souvent très esthétique.

Un mouvement chaotique peut être obtenu par itération dans le cas d’un système discret ; il peut également être continu dans le cas d’un système d’équations différentielles à condition que l’espace de phase soit au moins de dimension 3. C’est le cas de l’attracteur de Lorenz.

Le premier attracteur étrange est dû à Lorenz. Celui-ci était, en 1963, météorologue au Massachusetts  Institute of Technology. Il étudiait les mouvements de convection dans l’atmosphère, et, en simplifiant les équations au maximum, était arrivé à un système de 3 équations différentielles du premier ordre couplées :

 

dx/dt = -10x + 10y

dy/dt  = 28x – y - xz

dz/dt = 8/3 z + xy

 

Son article, intitulé Deterministic Nonperiodic Flow, montre les 3000 premières itérations : il avait trouvé le 1er attracteur étrange :

 

 


L’itéré tourne autour de l’un des deux puits en s’éloignant de celui-ci. Arrivé à une certaine distance, il saute sur l’autre puits, puis s’éloigne en tournant et le manège recommence. Le mouvement ne se reproduit jamais de façon identique.

Il avait auparavant trouvé l’ "effet papillon ". En 1961, il travaillait sur un des premiers ordinateurs (Royal McBee LGP-300), avec une vitesse d’environ une itération par seconde. Il répétait un calcul déjà effectué auparavant. Devant sortir, il nota les résultats obtenus sur l’ordinateur en se limitant au premiers chiffres. Les ayant remis par la suite dans l’ordinateur, il constata que la seconde moitié de l’exécution ne reproduisait pas la première. Le coup de génie de Lorenz fut de comprendre qu’il avait affaire à la sensibilité aux conditions initiales. Il avait réintroduit dans son ordinateur des nombres voisins, mais non identiques, et le résultat, après quelques itérations, était complètement différent. Le battement d’ailes du papillon est une cause minuscule de changement des conditions initiales, mais, une semaine après, les changements sont considérables, et une tornade peut arriver là où elle ne serait pas arrivée sans l’intervention du papillon ; et le plus drôle de l’affaire est que l’attracteur de Lorenz ressemble à un papillon !

L’attracteur étrange est la géométrie dont le chaos est la dynamique.

L’attracteur de Hénon

 Michel Hénon est un astronome français. Il avait pris contact avec le chaos en 1962 avec son étudiant Carl Heiles, en étudiant à l’ordinateur les trajectoires correspondant à un système d’équations différentielles hamiltonien (sans frottement). En 1976, il connaissait l’attracteur de Lorenz, et, en simplifiant les équations, aboutit à l’attracteur qui porte son nom. Il s’agit d’une application très simple, un peu analogue à l’application logistique, mais dans un plan. Ses équations s’écrivent :

H(x, y) =(y + 1 –ax², bx)

Partant d’un point (x0 , y0), les itérés successifs s’écrivent :

(xk+1, yk+1) = (yk + 1 –axk², bxk)

 

Avec les valeurs a = 1,4 et b =0,3 choisies par Hénon, on obtient un joli attracteur, devenu, comme l’attracteur de Lorenz et l’ensemble de Mendelbrot, un des emblèmes du chaos :

 


Il se présente avec une forme de croissant et une structure en couches, en pâte feuilletée, pourrait-on dire.

L’analogie avec l’application logistique se voit dans le diagramme de l’état final (pour la variable x) :

 


Ce diagramme fait apparaître clairement le scénario de doublement de période, analogue à celui de l’application logistique, passant d’un attracteur ponctuel à un point fixe périodique de période 2, 4, 8…jusqu’à apparition du chaos.

Une propriété très intéressante, et un peu surprenante, des attracteurs étranges, qui vient du caractère fractal de l’attracteur, est que l’on peut reconstruire l’attracteur à l’aide des données concernant une seule variable ; supposons que l’on ne connaisse que la suite des itérés en x ; traçons xk+1 en fonction de xk :

 


On reconnaît très bien l’attracteur de Hénon bien que seule la variable x soit connue. C’est un procédé très commode de reconstruction d’un attracteur étrange : les phénomènes physiques ont souvent un grand nombre de dimensions, et il suffit de posséder les données numériques d’une seule variable pour reconstruire l’attracteur. Cela vient du fait que toutes les propriétés de l’attracteur sont d’origine fractale et on reconnaît la forme de l’attracteur dans tout tracé de variables pertinentes du problème.

Si l’on trace xk+2 en fonction de xk, on obtient un attracteur qui a même topologie que celui de Hénon, mais qui a été replié.

 


 


La figure suivante présente l’attracteur de Hénon à l’intérieur d’une partie de son bassin d’attraction :

 


Le bassin d’attraction, à l’intérieur duquel se trouve l’attracteur étrange, est l’ensemble des points dont les itérés successifs se dirigent vers l’attracteur. Le bassin d’attraction est en quelque sorte le négatif de l’attracteur, et sa frontière est une fractale semblable à l’attracteur.

Récapitulons les propriétés exigées d’un attracteur étrange :

1.       A est attracteur s’il existe un voisinage de A tel que toute orbite (ensemble des itérés) partant de ce voisinage se rapproche indéfiniment de A.

2.       Les orbites possèdent la sensibilité aux conditions initiales, ce qui rend l’attracteur chaotique.

3.       L’attracteur a une structure fractale et devient un attracteur étrange.

4.       A ne peut pas être divisé en deux attracteurs différents.

Attracteur de Ikéda

L’attracteur de Ikéda correspond à l’itération :

xn+1 = R + C2(xn cost- yn sint)

yn+1 = C2(yn cost + xn sint)

L’itération est dissipative (ce que l’on vérifie en calculant le déterminant du jacobien, qui est la matrice des dérivées partielles de la transformation) si  -1< C2 < 1 ; avec les valeurs numériques R = 1, C1 = 0,4, C2 = 0,9 et C3 =6, on obtient, selon les conditions initiales, un point fixe ou un attracteur étrange. Si l’on part du point initial (2, 0), les itérés se dirigent vers le point fixe attracteur de coordonnées (2,97, 4,14).

Si l’on part de l’origine (0, 0), les itérés successifs engendrent un attracteur étrange :

 

 


 


On remarque la structure en couches minces repliées, caractéristique des attracteurs étranges obtenus par itération, qui provient du processus d’étirement-repliement analogue au pétrissage de la pâte. L’ensemble des points qui se dirigent vers un attracteur donné constitue le bassin de l’attracteur. Le plan se divise ici en deux bassins, dont la surface de séparation est une fractale.

 


Le bassin d’attraction du point fixe est en grisé, celui de l’attracteur étrange en blanc. On a représenté deux trajectoires, l’une partant de (2, 6) et se dirigeant vers le point fixe, l’autre de (-1, -2) se dirigeant vers l’attracteur étrange.

Attracteur de Mira

On considère l’itération, déjà mentionnée au chapitre 4 :

xn+1 = byn + F(xn)

yn+1 = -xn + F(xn+1)

F(x) peut prendre diverses formes. On prendra

F(x) = ax + (1-a)´2x²/(1 + x²)

Si b<1, le système est dissipatif et peut mener à un attracteur étrange.

Avec a = -0,48, b = 0,93, on obtient la figure esthétique suivante, en forme d’oiseau :

 

 


Il s’agit ici d’un attracteur étrange, car la trajectoire tend vers cette figure quelles que soient les conditions initiales.

Avec a = -0,4 et b = 0,99, on obtient :

 


 


Là encore, il s’agit d’un attracteur étrange, vers lequel tendent toutes les trajectoires partant de points quelconques.

L’attracteur de Rössler

On a travaillé jusqu’à présent sur des itérations, c’est-à-dire sur un système qui saute d’une itération à l’autre. Un tel système est discret. On trouve de tels systèmes en biologie, plus rarement en physique. Celle-ci travaille surtout avec les équations différentielles, c’est-à-dire sur un ensemble continu de variables.

Une équation différentielle à une variable relie une fonction à ses dérivées. Un exemple fameux est la relation fondamentale de la dynamique, ou seconde loi de Newton, du type force=masse´accélération, reliant la force à la variation de la vitesse, c’est-à-dire à la variation de la variation de la position (dérivée seconde de la position). Un autre exemple, très courant en physique, est l’équation harmonique, du type x’’+w2 x=0 ; c’est l’équation du mouvement d’une masse accroché à l’extrémité d’un ressort.

Les mouvements correspondants à des systèmes d’équations différentielles du premier ordre à une ou à deux variables ne sont jamais chaotiques.

 

L’attracteur de Rössler, comme celui de Lorenz, est donné par un système de 3 équations différentielles du 1er ordre couplées :

dx/dt = -(y + z)

dy/dt =x + ay

dz/dt = b + (x – c)z

a, b et c étant 3 coefficients numériques. On prend a = b = 0,1 et c peut varier. On le prendra ici égal à 14. On obtient l’attracteur suivant :

 


Le point tourne dans le plan xOy en s’éloignant du centre. Parvenu à une certaine distance, il se met à monter, puis redescend brusquement et revient d’autant plus près du centre que sa hauteur maximale était élevée. Si l’on fait varier le coefficient c, on retrouve entre c=4 et c=11, sur la projection du mouvement dans le plan xOy, le scénario de doublement de période :

 


 


Pour c=4 (en haut à gauche), on a un mouvement périodique avec un seul tour. Pour c=6 (à droite), le mouvement est périodique avec 2 tours, puis 4 tours (en bas, à gauche) ; il est chaotique pour c=11 (à droite).

Le processus d’étirement-repliement  à l’œuvre est du même type que celui de l’application logistique ; pour le voir, on trace l’application de Lorenz, ou application de premier retour, de l’attracteur de Rössler (pour c = 14). Ici, on prend la suite des points correspondant pour chaque cycle au retour dans le plan après la montée, et on trace la valeur absolue de l’abscisse  xn+1 du point de retour en fonction de la valeur absolue de xn :

 


On obtient une courbe (en réalité ayant une certaine épaisseur) qui ressemble à l’application logistique ; la pente à l’intersection de la courbe étant < -1, on conclut que l’application de Lorenz qui fait passer d’un point au suivant est chaotique et que le processus d’étirement-repliement est semblable.

Il ne faut pas confondre l’application de premier retour de Lorenz avec l’application de Poincaré. Une section de Poincaré est l’intersection de l’attracteur avec un plan que l’on prend en général perpendiculaire aux trajectoires ; l’application de Poincaré est alors celle qui fait passer d’un point au point suivant ; le problème est simplifié, puisqu’au lieu de considérer les trajectoires entières, on s’occupe uniquement des itérés de l’application de Poincaré.

On peut également vérifier de façon graphique la sensibilité aux conditions initiales. Pour cela, on trace la différence des valeurs de x(t) pour des valeurs initiales très voisines (x(0)=1 et x(0)=1,01, y(0) et z(0) étant nuls) :

 


 


 On voit qu’à partir de t=60 environ, les deux mouvements se déconnectent et la différence devient aussi grande que le signal lui-même.

L’attracteur de Lorenz

Pour tracer son attracteur, Lorenz part des équations différentielles suivantes :

dx/dt = -sx +sy

dy/dt = Rx – y – xy

dz/dt = -Bz + xy

Les valeurs numériques choisies par Lorenz sont : s = 10, B = 8/3, R pouvant varier.

Pour R = 28, on a l’attracteur suivant :

 


Le mode d’action se voit sur le tracé de x en fonction du temps :

 



Le système tourne autour d’un point fixe instable en s’éloignant, et, parvenu à une certaine distance, saute sur l’autre point fixe instable.

On peut tracer l’application de premier retour de l’attracteur de Lorenz en traçant le maximum de z en fonction du maximum précédent. On obtient le tracé suivant :

 


L’application de Lorenz ressemble, avec une certaine épaisseur, à l’application tente, dont on sait qu’elle est chaotique. On a là encore à l’œuvre un processus d’étirement-repliement.

Le comportement de l’attracteur en fonction de R est très varié, comme on peut le voir sur le tableau suivant :

 

Valeur de R

 

 

Attracteur

 

[-¥, 1]

 

 

(0,0,0) est un point fixe attracteur

 

[1, 13,93]

 

 

2 points fixes attracteurs C+ et C-

 

[13,93, 24,06]

 

 

Orbites chaotiques transitoires rejoignant C+ ou C-

 

[24,06, 24,74]

 

 

L’attracteur étrange coexiste avec les 2 points fixes C+ et C-, suivant les conditions initiales (multistabilité)

 

>24,74

 

 

Attracteur étrange. C+ et C- sont devenus instables

 

Lorsque R> 24,74,l’attracteur est chaotique, mais, comme pour l’application logistique, il existe des fenêtres de régularité où le comportement est périodique. En faisant décroître R, l’entrée dans la fenêtre se fait par une intermittence, et elle en sort par le scénario de doublement de période. Par exemple, pour R = 100,7, on a une solution périodique, dans laquelle le point fait un tour autour du point fixe C+ et deux tours autour du point fixe C-, notée xy² :

 

 


L’attracteur de Curry et Yorke

L’application de Curry et Yorke est la composée de 2 applications y = y1 °y2, avec pour y1 :

rk+1 = e ln(1 + rk)

qk+1 = qk + q0

définie en coordonnées polaires, et pour y2,

Xk+1 = Xk

Yk+1 = Yk + Xk2

définie en coordonnées cartésiennes. e est un paramètre de contrôle, q0 est une constante que l’on prendra égale à 2 radians, proche de 2p/3 ; à chaque itération, on fait sensiblement 1/3 de tour.

On obtient l’attracteur suivant :

 

 

e
 = 1,48 : régime chaotique (en haut à gauche)

e = 1,3 : accrochage d’ordre 3 (en haut à droite)

e = 1,27 : sortie de l’accrochage par intermittence (en bas à gauche)

e = 1,2 : régime quasipériodique à 2 fréquences (en bas à droite)

La dynamique de l’application est très riche. L’entrée et la sortie de la fenêtre d’ordre 3 se font par intermittence.

Pour e = 1,58, on a un accrochage d’ordre 4, l’entrée se faisant par intermittence et la sortie par le scénario de doublement de fréquence : pour e = 1,6, l’ accrochage est d’ordre 8, puis 16 etc...

La sortie par intermittence de la fenêtre d’ordre 3 se voit pour e = 1,25 en traçant X en fonction du temps :

 


le point passe la plupart de son temps au voisinage d’un point fixe d’ordre 3 avec une lente dérive, puis, de temps en temps, fait le tour et revient de l’autre côté.

L’attracteur de Chua

Prenons pour dernier exemple l’attracteur de Chua.

Le circuit de Chua est un circuit électronique simple, comportant 2 condensateurs, une résistance et une inductance ainsi qu’une diode non linéaire dont la caractéristique courant-tension, linéaire par morceaux, a pour équation :

g(x) = m1x+m1-m0 si x"d -1, m0x si -1"d x "d 1 et  m1x+m0 – m1 si x"e 1 avec m0 = -9/7 et m1 = -4/7

Les équations de l’attracteur de Chua s’écrivent :

dx/dt = c1( y -  x - g(x))

dy/dt = c2(x – y + z)

dz/dt = -c3 y

On trace l’attracteur pour c1 = 15,6, c2 =1 et c3 = 36 :

 


On peut voir l’évolution de l’attracteur lorsque c3 diminue à partir de 50 :

 


·        
pour c3 = 50 (en haut à gauche), 2 orbites périodiques, le point se déplaçant sur l’une ou l’autre suivant la condition initiale

·         pour 43, les orbites ont doublé de période, c’est le début d’une cascade de doublement de période menant au chaos

·         pour 40, 2 attracteurs chaotiques qui se rapprochent

·         pour 38,4, les deux attracteurs se sont réunis en un seul à 2 "disques" par une crise intérieure.

Les crises

Les crises sont aux attracteurs étranges ce que sont les bifurcations aux attracteurs ponctuels ou périodiques.

 

Crise intérieure

Il s’agit de 2 attracteurs qui se réunissent. On a réunion des 2 attracteurs au passage du point-selle qui sépare les bassins d’attraction des 2 attracteurs. Lorsqu’un attracteur rejoint le point-selle, il englobe tous les itérés du point-selle (c’est la variété instable du point-selle), dont font partie les points de l’autre attracteur, et ceux-ci se rejoignent. On observe le même phénomène avec l’attracteur de Hénon.

Dans une autre sorte de crise intérieure, on observe une brusque variation dans la taille de l’attracteur. C’est le cas de l’attracteur de Ikéda, dont on a déjà parlé dans ce chapitre.

Traçons l’attracteur pour la valeur de C3 égale à 7,1 :

 

 

Recommençons avec la valeur de C3 égale à 7,3 :

 

L’attracteur s‘est brusquement agrandi, tout en passant l’essentiel de son temps dans le cœur, qui est en fait l’attracteur précédent.

Que s’est-il passé ? En fait, pour une certaine valeur de C3 entre 7,2 et 7,25, l’attracteur touche un cycle instable de période 5, et il englobe alors brusquement tous les itérés du cycle (c’est la variété instable du cycle), qui joignent un point-selle à l’autre.

Crise de frontière

Un autre type de crise est la crise de frontière. Voyons le sur l’attracteur de Ikéda, que l’on trace pour la valeur du paramètre R = 1,008 :

 

Pour la valeur R = 1, on a une crise de frontière : l’attracteur atteint un point-selle, qui fait frontière entre le bassin d’attraction de l’attracteur étrange et celui du puits qui se trouve en haut de la figure. Certains des itérés partant du point-selle se dirigent vers le puits, et, tôt ou tard, le point qui se déplace dans l’attracteur va passer au voisinage du point-selle et être capté par le puits. Le point va passer beaucoup de temps sur le "fantôme" de l’attracteur avant de se diriger vers le puits. On a affaire à un chaos transitoire survenant pour des valeurs proches de la crise de frontière.

On retrouve des crises de frontière sur l’attracteur de Lorenz.


 


 

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