Chapitre 5 : le chaos

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Un point de départ

Dans la vie courante, on parle de chaos à propos d’évènements imprévisibles sur lesquels on n’a aucune prise. On dira d’une trajectoire qu’elle est chaotique si elle semble n’obéir à d’autre loi que celle du hasard.

En physique, les choses sont plus subtiles : les mouvements chaotiques obéissent certes à une certaine part de hasard, mais une part seulement. Ils obéissent à des lois déterministes, c’est-à-dire qu’il existe une règle permettant de passer d’un point au point suivant ; par contre, ils sont imprédictibles à long terme. On avait l’habitude, depuis Laplace, d’associer déterminisme et prédictibilité, qui semblaient aller de pair. On sait maintenant qu’il existe des mouvements déterministes mais imprédictibles, au moins à longue échéance : c’est le chaos déterministe.

L’histoire du chaos remonte à Henri Poincaré. Né le 29 avril 1854 à Nancy, il travailla avec succès dans toutes les branches des mathématiques, et fut "le dernier des universalistes", maître incontesté des mathématiques françaises, et sans doute mondiales, à la fin du XIXième siècle. En 1887, il gagne le prix de 2500 couronnes proposé par le roi Oscar II de Suède sur le thème de la stabilité du système solaire. Sans le dire vraiment (l’idée était trop en avance pour son époque, et une grande découverte suppose à la fois un homme, un endroit, une époque et une culture), Poincaré avait compris que les solutions du problème à trois corps étaient chaotiques.

 Ce que Poincaré avait semé fut récolté vers 1950, avec la théorie des systèmes dynamiques. Citons à ce propos Kolmogorov, Smale, Feigenbaum et Lorenz, l’inventeur des attracteurs étranges.

La découverte tardive du chaos est due à un malentendu qui dura de Newton à Poincaré. Avec Lagrange et Hamilton, la mécanique était analytique, le but étant de trouver des solutions aux équations mécaniques sous formes d’expressions mathématiques calculables, et l’on ne s’intéressait qu’aux problèmes comportant une telle solution. On ne s’intéressait en fait qu’aux seuls cas particuliers où le mouvement est prédictible ! Les autres cas étaient mis de côté en attente de leur résolution par un mathématicien doué, alors qu’en fait, ils sont non résolubles à l’aide de fonctions mathématiques, et l’on ne peut que calculer numériquement à l’ordinateur des solutions approchées. La plupart des problèmes n’ont pas de solution au sens analytique que l’on donne habituellement à ce mot, et il faut bien s’y habituer, car le monde est fait ainsi, un point c’est tout. Les mouvements réguliers sont une goutte dans un océan chaotique. Ce qui ne veut pas dire que l’on ne peut rien en dire, loin de là.

Le chaos est intimement lié à la sensibilité aux conditions initiales. On entend par là que les trajectoires de deux particules très proches au départ finissent par se déconnecter complètement après une certaine durée. Même si elles sont vraiment très proches au départ.

Considérons un cercle de longueur 1 gradué de 0 à 1, le point 1 étant confondu avec le point 0, et une transformation très simple, la multiplication par 10.

Partons d’un nombre compris entre 0 et 1, par exemple 0,584 ; en le multipliant par 10, on obtient 5,84, et, comme le cercle est gradué de 0 à 1, il prend la position 0,84, ce qui revient à décaler tous les chiffres de une place vers la gauche et à retirer l’entier qui dépasse l’unité. Cette opération se note frac(10x), c’est la partie fractionnaire de 10x.

Partons maintenant de 2 points très proches, par exemple 0,58423167 et 0,58423682. Ces 2 nombres ont leurs 5 premières décimales identiques, donc ils diffèrent de moins de 1/100000.

Appliquons leur l’opération frac(10x) plusieurs fois de suite :

1ère itération    0,8423167 et  0,8423682

2ième itération  0,423167  et   0,423682

3ième itération  0,23167    et  0,23682

4ième itération  0,3167      et   0,3682

5ième itération  0,167        et   0,682

les 2 nombres qui étaient relativement proches jusqu’à la 4ième itération deviennent complètement différents à partir de la 5ième. L’opération de multiplication par 10 sur le cercle est déterministe, le résultat est parfaitement connu au tour suivant, mais il devient rapidement imprévisible, car la précision du nombre initial est finie. Un résultat prévisible à toutes les itérations supposerait la précision du nombre initial infinie, ce qui est impossible dans la pratique dans le cas général.

Notons cependant que les mouvements chaotiques ne sont pas les seuls à posséder la sensibilité aux conditions initiales. Si l’on multiplie 2 nombres proches plusieurs fois par deux, l’écart entre les itérés est multiplié également par 2 à chaque itération et les nombres s’éloignent. Cependant, l’erreur reste connue et le rapport de l’écart sur le nombre reste constant. Pour un mouvement chaotique, on peut dire que l’écart devient rapidement aussi grand que le signal lui-même.

Les critères du chaos

En plus de la sensibilité aux conditions initiales, les mathématiciens, en l’absence d’une définition générale du chaos, admettent que les systèmes chaotiques doivent satisfaire à deux autres critères : le critère de mélange et la présence de points périodiques denses.

Vérifions ces deux critères sur notre exemple de frac(10x) :

·         Le critère de mélange dit qu’en partant d’un point d’un intervalle quelconque, aussi petit soit-il, on passera, au cours des itérations par n’importe quel autre intervalle compris entre 0 et 1, aussi petit soit-il également ; supposons que l’on parte entre 0,0001 et 0,0002 et que l’on veuille passer entre 0,7887 et 0,7888 :il suffit de prendre le nombre 0,000178875 par exemple ; au bout de 4 itérations, il deviendra 0,78875, qui est bien dans l’intervalle proposé.

·         Les points périodiques sont tels que leur trajectoire est périodique, c’est-à-dire qu’ils doivent repasser par le même point après un certain nombre d’itération. Soit par exemple le nombre 0,653 846153 846153 846153…On reconnaît, après 653 la séquence 846153 indéfiniment répétée. Les nombres qui se construisent de cette façon sont en fait les nombres fractionnaires. Ici, il s’agit de 17/26 (les nombres irrationnels, comme , présentent des séquences toujours différentes). Les nombres fractionnaires sont des points périodiques. Ils sont denses, en ce sens que l’on peut trouver un nombre fractionnaire dans n’importe quel intervalle, aussi petit soit-il. C’est un résultat bien connu de la théorie des nombres réels.

Notre itération frac(10x) satisfait aux trois critères : c’est une application chaotique ; pouvait-on rêver d’un exemple plus simple pour entraîner une révolution de notre manière de penser ? Il a fallu pourtant Poincaré et la naissance de l’ordinateur pour montrer qu’un mouvement déterministe n’est pas toujours (pas souvent ?) prédictible. C’est un des trois principaux résultats de la physique du XXième siècle, avec la relativité, qui a lié espace et temps et la mécanique quantique, qui a introduit le discontinu et les probabilités en physique. La théorie des systèmes dynamiques ne contredit pas la mécanique classique, mais elle limite son utilité à des cas certes importants, mais somme toute particuliers. Ce qui ne veut pas dire que l’on ne peut rien savoir sur les systèmes chaotiques, comme nous allons le voir par la suite.

Le pétrissage de la pâte

Pour faire une tarte, on fait une boule de pâte que l’on pétrit. L’opération de pétrissage consiste à étirer la pâte puis à la replier, en répétant cette opération un grand nombre de fois. On a là tous les ingrédients du chaos ; si l’on verse du sel, par exemple, en un point de la pâte, l’opération étirement-repliement va rapidement répartir le sel partout, comme on bat les cartes avant de jouer afin de les mélanger. Le mécanisme d’étirement-repliement est à la base du chaos, et se reconnaît dans les couches multiples constituant les attracteurs étranges.

Une variante de l’étirement-repliement consisterait à étirer la pâte, à la couper en deux moitiés, et à placer une des moitié au dessus de l’autre, puis à recommencer.

Or c’est exactement ce que nous avons fait avec l’opération frac(10x), sauf qu’ici on coupe la pâte en 10 parties que l’on superpose avant de recommencer.

Traçons le graphe de la fonction qui, à un nombre x, associe la partie fractionnaire de 10x, x étant compris entre 0 et 1 :


C’est une application  en dents de scie. On voit que l’on a étiré par 10 l’intervalle entre 0 et 0,1 pour lui donner la longueur 1, et de même pour les 9 autres intervalles ; puis on a superposé entre 0 et 1 les 10 intervalles de longueur 1 obtenus ; il s’agit bien d’un processus d’étirement-superposition analogue à l’étirement-repliement.

Pour nous rapprocher de la pâte, on va prendre la transformation encore plus simple frac(2x) : on multiplie un nombre par 2 et on prend la partie fractionnaire. Si x>1/2, on se contente de multiplier par 2, et, si x>0,5, on multiplie par 2 et on retire 1.

Partant d’un point initial x0, on peut suivre les itérés par le graphe en toile d’araignée :

 

 

On part du point 0,4123 ; les premiers itérés sont : 0.4123, 0.8246, 0.6492, 0.2984, 0.5968, 0.1936
. Partant de l’abscisse 0,4123, on lit le résultat de la 1ère itération au croisement de la verticale avec la courbe, on projète à l’horizontale sur la bissectrice y = x, la verticale nous donne alors le 2ième  itéré et ainsi de suite.

Si l’on continue avec 200 itérés, on obtient le graphe suivant :


 


Le graphe semble indiquer que la trajectoire est, soit chaotique, soit de très longue période. Il en est bien ainsi. Ecrivons le nombre en base 2, uniquement avec des 0 et des 1. Par exemple 54 = 32+16+4+2 = 25 +24 +0´23+22+2+0´20  s’écrit 110110. Multiplier par 2 revient à ajouter 1 à toutes les puissances de 2, c’est-à-dire à décaler tous les chiffres de une place à gauche. La transformation frac(2x) appliquée à un nombre compris entre 0 et 1 consiste donc à tout décaler vers la gauche, en supprimant le 1 éventuel qui franchit la virgule. Par exemple, pour 0,8125, qui s’écrit 0,1101 en base 2, on a frac(2´0,8125)=0,101.

Tous les raisonnements effectués sur la transformation frac(10x) restent vrai pour frac(2x) : il suffit de passer les nombres en base 2. En particulier, si l’on part d’un nombre irrationnel (ce qui n’est pas le cas de 0,4123), la trajectoire est chaotique.

Une application, dont le comportement est tout à fait semblable à l’application dent de scie est l’application tente, dont l’équation est :

si  x < 0,5, on prend 2x, et si x >0,5, on prend 2-2x. Le graphe est le suivant, où l’on a tracé les 100 premiers itérés de 0,4123 :

 

 

 


 

 


Un système est chaotique parce qu’il est instable. Tous les points fixes et points périodiques de l’application et de ses itérés sont instables. C’est le cas de l’application précédente où la courbe coupe la bissectrice avec une pente < -1 (voir cascade de doublement de période un peu plus loin dans le chapitre). C’est le cas également de la fonction composée avec elle-même, qui, à un nombre, fait correspondre le 2ième itéré, comme on le voit ci-dessous :

 

Les points fixes (intersections de la courbe avec la bissectrice) repoussent les itérés, qui sont ramenés à leur voisinage par les parties à pente positive de l’application (phénomène de repliement). Tout nombre réel non fractionnaire (dont le développement n’a pas de période) ne repassera jamais 2 fois par la même valeur !

 Le système chaotique n’est pas compressible, en ce sens qu’il n’existe aucun algorithme pouvant prédire la valeur future de façon plus rapide que l’expérience elle-même. Même la simulation est en fait fausse, puisque l’ordinateur travaille en général avec 10 chiffres et remplace par 0 les chiffres ultérieurs. L’ordinateur ne nous donne pas la véritable solution, mais une solution qui présente le même comportement et parcourt le même attracteur. La situation n’est tout de même pas désespérée, car, si une prévision exacte n’est pas possible, on peut cependant décrire le comportement du système et faire des statistiques sur celui-ci. La mécanique quantique ne permet pas de connaître simultanément la position et la vitesse d’une particule, elle est cependant d’une précision jamais atteinte par la mécanique classique !

 

Application logistique

 

On en vient à la célèbre application logistique (appelée aussi itérateur quadratique), devenue le paradigme du chaos. Elle fut introduite par le sociologue et mathématicien belge Verhulst (1804-1849). L’intérêt de cette application est double : elle montre qu’une application très simple peut avoir un comportement très complexe et conduire au chaos, et surtout, elle donne un scénario très fréquent de passage d’un régime régulier à un régime chaotique. On rencontre fréquemment dans la nature des systèmes qui passent très rapidement d’un régime régulier à un régime chaotique, comme le passage du régime laminaire au régime turbulent de l’eau qui sort d’un robinet, ou simplement le comportement d’une foule dans un stade ! Le scénario de doublement de période de l’application logistique se retrouve dans nombre de tels phénomènes.

L’application logistique s’écrit : x !’ k x (1-x), x nombre compris entre 0 et 1 et k un paramètre, souvent appelé paramètre de contrôle, compris entre 0 et 4.

Pour k = 4, c’est une parabole renversée, présentant un maximum égal à 1 pour x =0,5.

 


 


On a représenté ici 50 itérés, à partir de la valeur initiale 0,34. On remarque une analogie frappante avec l’application tente. En fait, on peut passer de l’application tente à l’application logistique pour k = 4 par le changement de variable x !’ y(x) = sin2(p x/2)

Calculons en effet  4 y (1- y)= 4 sin2(p x/2)(1- sin2(p x/2)) =4 sin2(p x/2)cos2(p x/2)

= sin2(p x) = y(2x), d’après cos2(a )=1-sin2(a ) et  sin(2a) = 2 sin(a )cos(a ),

soit  y(2x) = 4y(x)(1-y(x), et doubler x revient à appliquer l’application logistique à y. 

Du fait de ce passage, on montre facilement que les propriétés chaotiques de l’application tente restent vraies pour l’application logistique avec k = 4. 

Cascade de doublement de période

On peut suivre l’évolution de l’application logistique suivant les valeurs du paramètre de contrôle k.

 


Pour k < 3 (la figure a été tracée avec k = 2,9 en partant de x = 0,2), les itérés de tous les points initiaux tendent vers le même point qui est l’intersection de la parabole et de la bissectrice ; il satisfait à kx(1-x)=x ; c’est un point fixe de l’itération. Tous les points se dirigeant vers celui-ci, c’est un point fixe attracteur.

Si l’on résout l’équation  kx(1-x)=x , on obtient 2 solutions : soit x = 0, soit k(1-x)=1, ce qui donne x=1-1/k = (k-1)/k.

On a 2 points fixes : le point fixe attracteur stable, et le point origine, qui est un point fixe instable ou repousseur. Un point situé en O y reste, mais la plus petite perturbation l’écarte de O pour rejoindre le point fixe attracteur.

La stabilité d’un point fixe dépend de la pente de la tangente en ce point :

 


Si la tangente a une pente inférieure à 1 (dessin de gauche), le point se dirige vers le point fixe attracteur par des marches d’escalier. Si la pente est supérieure à 1 (à droite), le point s’éloigne du point fixe repousseur par des marches d’escalier.

 


 


Si la tangente a une pente négative comprise entre 0 et –1, le point se dirige vers le point fixe attracteur par une spirale se dirigeant vers l’intérieur (à gauche), et, si la pente est inférieure à –1, il fuit le point fixe repousseur par une spirale vers l’extérieur.

En résumé, si < 1, le point est attracteur, et si >1, il est repousseur.

Notons que le passage par 1 ou –1 de la dérivée a des conséquences "dramatiques" sur le comportement du système, qui change de régime ; ce passage d’un régime à un régime qualitativement différent est une bifurcation.

Pour l’application logistique, la valeur de la dérivée de kx(1-x) est k(1-2x) qui a pour valeur 2-k au point fixe (k-1)/k. On voit que, pour k=3, le point fixe devient repousseur : on a une bifurcation.

 

 


Pour k=3,2, on constate que l’itéré s’éloigne en spirale du point fixe devenu repousseur et tend vers un carré, l’itéré passant alternativement du sommet supérieur gauche du carré au sommet inférieur droit. On a un attracteur périodique constitué d’un ensemble de 2 points : c’est un cycle de période 2.

Le point revient sur lui-même après 2 itérations. C’est donc un point fixe de l’itération composée f(f(x)).

 

 


 


Pour k=2,9, l’application composée a un point fixe stable.

Pour k=3,2, la bissectrice coupe f(f(x)) en 3 points ; pour k=3, on a eu une bifurcation, appelée bifurcation fourche : le point fixe stable est devenu instable et il y a eu apparition de 2 points fixes stables, qui s’éloignent lorsque k augmente.

Lorsque k atteint la valeur 3,4495, le même scénario se reproduit, et l’on va avoir un 4-cycle stable, l’itéré passant à tour de rôle par les 4 sommets du cycle.

 

 


 Les bifurcations s’enchaînent ensuite de plus en plus rapidement pour arriver, lorsque k = 3,5699456…(point de Feigenbaum), à la zone chaotique. La séquence de doublements de période se voit le plus commodément sur le diagramme de bifurcation, ou diagramme de l’état final, où l’on porte l’état final du système en fonction du paramètre de contrôle (ou de croissance) k.

 



Pour k entre 0 et 1, le seul point fixe stable est 0. Pour k de 1 à 3, 0 est devenu instable, et il existe un point stable qui s’éloigne de l’origine. Pour k=3, on a le premier doublement de période, qui se reproduit pour donner un 4-cycle, puis un 8-cycle, un 16-cycle et ainsi de suite jusqu’au chaos au point de Feigenbaum. Il existe une autosimilarité dans les doublements successifs, qui se reproduisent identiques à eux-mêmes ; si l’on note dn l’intervalle du paramètre de contrôle correspondant au nième doublement de période, le rapport d= dn-1/dn tend vers la constante de Feigenbaum 4,6692...

Ce nombre d = 4,6692.. est important, car le scénario de doublement de période présente la propriété d’universalité, en ce sens que, chaque fois que l’itération a la forme d’une bosse, on retrouve ce scénario avec la même constante de Feigenbaum.

C’est le cas de l’application ax²sin(px) que l’on trace ci-dessous pour a = 2,3 avec les 100 premiers itérés au départ de 0,6, ainsi que le diagramme de l’état final pour les valeurs de a comprises entre 1,5 et 2,3 :

 


 


Pour la valeur a = 1,726, on a une bifurcation tangente, ou bifurcation selle-nœud.

 

 


 


Pour a < 1,726 (à gauche), la courbe reste au-dessous de la bissectrice, tous les points se dirigent vers l’origine. Pour a = 1,726  la courbe est tangente à la bissectrice, le point de contact est un point-selle, attracteur pour les points arrivant au-dessus, et repousseur pour les points partant au-dessous. Pour a > 1,726, on a deux points fixes, dont l’un attracteur, que l’on voit sur le diagramme de l’état final, l’autre intersection avec la bissectrice étant un point fixe repousseur ; le passage par a = 1,726 est une bifurcation tangente ou selle-nœud, où deux points fixes apparaîssent simultanément. La bifurcation doublement de période et la bifurcation tangente sont les deux sortes de bifurcations génériques, les autres bifurcations étant des cas particuliers.

La constante de Feigenbaum a été trouvée expérimentalement dans un certain nombre de phénomènes physiques, notamment en hydrodynamique et en électronique, signant ainsi le scénario de passage au chaos par doublement de période.

Le régime chaotique

Le diagramme de l’état final de l’application logistique montre que, pour la valeur k = 3,569.., on entre dans le régime chaotique. Si l’on agrandit le diagramme pour k entre 3,5 et 3,9,

 


 


on voit que les zones chaotiques sont entrecoupées de fenêtres où le régime redevient périodique. On remarque par exemple la fenêtre de période 3 entre k = 3,828 et k = 3,857, la fenêtre d’ordre 5 et la fenêtre d’ordre 6. Détaillons encore le milieu de la fenêtre de période 3 :

 


On sort de cette fenêtre par le même scénario de doublement de période, mais en plus petit ; c’est une conséquence de l’autosimilarité.

L’entrée dans la fenêtre, par contre, fait appel à un autre scénario, l’intermittence ; pour la valeur k =3,82835, on trace pour 600 itérés la valeur de l’itéré en fonction du numéro de l’itération ; on voit un mouvement régulier correspondant au cycle de période 3, avec une légère augmentation ou diminution de l’amplitude, entrecoupé de bouffées chaotiques ; c’est en cela que réside le phénomène d’intermittence.

 


 


On observe le même phénomène avec le graphe en toile d’araignée : de temps en temps, l’itéré sort du 3-cycle, fait le tour en spiralant et revient par l’autre côté du cycle :

 


L’intermittence est due ici à une bifurcation tangente, comme on l’a vu au paragraphe précédent.

 


Si l’on trace l’application f(f(f(x))), qui, à un nombre, fait correspondre le 3ième itéré, pour k légèrement inférieur à 3,828,

 l’itéré va passer la plus grande partie de son temps le long de l’étroit canal entre la courbe et la bissectrice (agrandissement dans le dessin de droite). Lorsqu’il finit par en sortir, il fait le tour et retombe sur le même point fixe ou un autre parmi les 3 et le phénomène recommence.

L’ordre d’apparition des fenêtres est celui de la fameuse séquence de Charkovski (1964) :

   3, 5, 7, 9, 11, 13 …      (tous les entiers impairs)

2´3, 2´5, 2´7, 2´9 ….  (tous les 2´k, k impair)

4´3, 4´5, 4´7, 4´9….     (tous les 2²´k, k impair)

2n´3, 2n´5, 2n´7, 2n´9 ….(tous les 2n´k, k impair)

             24, 23, 22 ,2, 1           (toutes les puissances de 2)

Les fenêtres sont exactement dans cet ordre, de droite à gauche dans le diagramme de l’état final.


 

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