Chapitre 4 : fractales généralisées

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Une généralisation des fractales autorise les transformations non linéaires. En ce sens, une fractale résulte de l’application répétée d’un même procédé, quel que soit celui-ci. Les fractales explosent alors en un délire de formes dont font partie les attracteurs étranges, l’inconvénient étant que l’on distingue de moins en moins le point de départ et les symétries du système. Les fractales, même généralisées, se reconnaissent cependant par le fait qu’elles sont structurées, la structure se reconnaissant à toutes les échelles.

On retrouve dans cette catégorie les ensembles de Julia et l’ensemble bien connu de Mendelbrot. On va commencer par un exemple simple qui mène à de jolies fractales : le modèle de Mira.

 

Le modèle de Mira

 

On considère l’itération

xn+1 = byn + F(xn)

yn+1 = -xn + F(xn+1)

F(x) peut prendre diverses formes. On prendra

F(x) = ax + (1-a) 2x2/(1+x2)

Lorsque b < 1, le système est dissipatif et tend vers un attracteur, qui peut être ponctuel ou attracteur étrange. Lorsque l’attracteur est ponctuel, les trajectoires transitoires ne sont à proprement parler ni des trajectoires chaotiques, ni des fractales au sens strict, mais elles mènent à de jolies figures.

Avec a = 0,7 et b = 0,9998, on obtient le dessin suivant :

 

La trajectoire décrit une spirale qui se rapproche petit à petit du point fixe attracteur (1, 0).

Avec a =0,8 et b = 0,999, avec les mêmes conditions initiales, on obtient :

 

 

 

Lorsque b = 1, il n’y a pas de frottement et l’application conserve la surface ; le système est dit Hamiltonien. La trajectoire dépend alors des conditions initiales et ne tend pas vers un attracteur. Les diverses courbes obtenues peuvent être des courbes fermées, des cycles périodiques, des îles ou des courbes chaotiques.

Traçons pour a = 0,9, les courbes correspondant aux conditions initiales d’abcisses : 4, 8, 10,5, 18, 25, 30 et d’ordonnée nulle :

 

 

 

La figure est centrée sur le point (1, 0) qui est un point fixe appelé centre. On a autour du centre la résonance principale, comprenant le centre et les cercles qui l’entourent ; celle-ci est entourée de 14 îlots qui sont des résonances secondaires ; les centres des 14 îlots correspondent à un accrochage d’ordre 14 ; le système passe d’un îlot à l’autre et revient à l’îlot initial après 14 itérations. Il est synchronisé sur une période qui est 14 fois celle de l’itération. C’est en fait la synchronisation qui structure les systèmes Hamiltoniens.

Pour a = 0,7 et 5 conditions initiales, on obtient :

 

 

La structure devient plus complexe : on a une premier accrochage d’ordre 10 à l’intérieur de la résonance principale, puis un accrochage d’ordre 8 correspondant aux résonances secondaires. Une zone chaotique pas très étendue entoure les îlots de l’accrochage d’ordre 8, prenant naissance aux points fixes instables qui séparent les îlots.

Pour a = 0,3, on a :

 

On distingue une première zone centrale chaotique entourant le point fixe (1,0) ayant une forme rappelant celle d’un poisson, suivie d’une deuxième zone chaotique s’arrêtant à l’accrochage d’ordre 5.

Dessinons une trajectoire chaotique dans la première zone chaotique :

 

La trajectoire chaotique semble parcourir toute la zone chaotique. Traçons enfin, pour a = 0,31, une trajectoire de "chaos esthétique" :

 

Les ensembles de Julia

On considère l’itération, qui, au nombre complexe z, associe

z!’ z2 + c

c étant un complexe.

Si c = 0, on a z!’ z2. Tous les nombres complexes situés à l’intérieur d’un cercle de rayon 1 vont converger vers l’origine puisque le module du complexe est inférieur à 1, et que le carré d’un nombre < 1 est inférieur à ce nombre (1/4 < 1/2) ; tous les nombres complexes à l’extérieur vont tendre vers l’infini puisque le module de l’itéré augmente à chaque itération. L’ensemble des points à l’intérieur de cercle s’appelle l’ensemble de Julia rempli, ou ensemble des prisonniers. Le cercle de rayon 1 forme frontière entre l’ensemble de Julia rempli et l’ensemble des points qui partent à l’infini. Cette frontière est l’ensemble de Julia de l’itération. L’itéré d’un point du cercle se trouve sur le cercle puisque son module reste égal à 1. L’ensemble de Julia est invariant par l’itération.

Lorsque c "` 0, on aura de même un domaine où les itérés partent à l’infini, et un domaine où les itérés restent bornés (ensemble de Julia rempli). La frontière entre les domaines constitue l’ensemble de Julia de l’itération, et c’est presque toujours une fractale (généralisée) d’une grande complexité.

L’itération repousse les points à proximité de la frontière, qui vont à l’infini s’ils sont à l’extérieur, ou vers l’attracteur s’ils sont à l’intérieur. L’itération inverse va au contraire attirer les points vers la frontière et l’ensemble de Julia sera l’attracteur de l’itération inverse.

Un nombre complexe w étant donné, les nombres complexes z vérifiant w = z2 + c sont donnés par

On a deux antécédents et deux itérations inverses

 et

qui ne sont pas linéaires, donc mènent à une fractale généralisée.

Premier aperçu

On pourra alors programmer la fractale par le jeu du chaos, en prenant à chaque étape un des deux antécédents au hasard, et l’ensemble des points obtenus va parcourir la fractale.

En partant d’un cercle, sur lequel on prend 720 points espacés de 0 ,5°, et en appliquant la procédure 2, 4 et 10 fois avec c = -1, on voit apparaître l’ensemble de Julia :

 

On peut aussi partir d’un point d’un point de l’ensemble de Julia et garder les deux antécédents à chaque étapes. Or il y a deux points de l’ensemble de Julia faciles à obtenir : ce sont les points fixes de l’itération qui satisfont à

z = z2 + c

et qui sont

L’image obtenue est plus ou moins satisfaisante, car certaines régions de l’ensemble de Julia sont difficiles à obtenir.

En faisant varier la valeur de c, on peut obtenir toute sorte d’ensembles très esthétiques. Les figures sont en fait incroyablement complexes.

Détails de l’ensemble de Julia

Une autre façon de programmer consiste à tracer l’ensemble de Julia rempli en faisant un découpage en pixels d’une partie du plan. On itère chaque pixel et on écarte le point si celui-ci part à l’infini. En fait, on montre facilement que le point partira sûrement à l’infini dès lors que son module est supérieur au plus grand des 2 nombres : 2 et  , soit 2 si c = -1. On itère chaque pixel un certain nombre de fois. Si son module reste inférieur à 2, on le classe dans l’ensemble de Julia rempli. On peut obtenir par cette méthode les détails d’une petite portion de l’ensemble de Julia pour c = -1 (ici, on a itéré 25 fois chaque pixel) :

 

Chaque boule est entourée d’autres boules qui la reproduisent ; détaillons la demi-boule de droite, d’abscisse comprise entre 1,58 et 1,62 :

 

Pour c = - 0,719 – 0,25 i (i = ), l’ensemble de Julia est le suivant :

 

Il s’agit d’un ensemble non connecté (une poussière de points). Avec c = i, on obtient :

C’est une structure dendritique.

L’ensemble de Mendelbrot

Il a été dessiné à l’ordinateur en 1979 par Benoit Mendelbrot.

Cet ensemble, noté M, est l’ensemble des nombres complexes tels que les ensembles de Julia associés à ces nombres soient connectés (au sens mathématique du terme, c’est-à-dire que l’on peut joindre deux points de l’ensemble par un chemin contenu dans l’ensemble).

Une autre définition, équivalente et plus facile à mettre en œuvre, est que M est l’ensemble des complexes tels que l’itération

0® c ® c2 + c ® (c2 + c)2 + c ®

reste bornée, c’est-à-dire que 0 est dans l’ensemble de Julia rempli correspondant à la valeur c.

L’ensemble de Mendelbrot est d’une incroyable complexité. Sa frontière présente des motifs tous différents correspondant aux ensembles de Julia dont il constitue en quelque sorte le catalogue. Sa description occupe des livres entiers.

La méthode de Newton

On sait résoudre une équation du second et du troisième degré. On démontre par contre qu’il n’existe pas de méthode générale pour résoudre les équations de degré égal ou supérieur à 5.

La méthode de Newton permet, à partir d’une valeur approchée de la solution, de s’approcher de celle-ci de façon que le nombre de chiffres corrects à droite de la virgule double à peu près à chaque itération (on connaît des algorithmes beaucoup plus performants).

Etant donnée une fonction f(x) (dont on cherche la solution f(x)=0), de dérivée f ‘(x), et x0 une estimation initiale de la racine, on prend pour estimation suivante l’intersection x1 de la tangente à la courbe en x0 avec l’axe horizontal, qui est en général plus proche de la racine que x0 :

 

L’équation de la tangente passant par (x0, f(x0)) est

y – f(x0) = f  ‘(x0)(x – x0)

Pour y = 0, on obtient la nouvelle estimation

x1 = x0 – f(x0)/f  ‘(x0)

On notera x1 = N(x0), et, de façon plus générale

N(x) = x – f(x)/f ‘(x)

Les estimations successives sont alors les itérations de la fonction.

La méthode de Newton pour x2 – 1

Par exemple, pour f(x) = x2 – 1, on a 2 racines égales à ±1 ; on a

 N(x) = x – f(x)/f ‘(x) =(x2 + 1)/(2x)

En traçant le graphe de N(x) et les toiles d’araignée partant de 0,2 et – 0,2, on voit que tous les nombres strictement négatifs convergent vers – 1 et tous les nombres positifs vers + 1 :

 

La méthode de newton pour x2 + 1

L’équation x2 + 1 n’a pas de racine. L’itération ne peut pas converger vers un point fixe. Une analyse graphique des itérés montre que son comportement est en fait chaotique :

 

Méthode de Newton pour les fonctions cubiques

Appliquée à une fonction cubique x3 + cx + 1 (forme à laquelle on peut ramener la plupart des fonctions cubiques), la méthode de Newton a un comportement parfois complexe.

Si c > 0, il est facile de vérifier qu’il n’y a qu’une seule racine réelle vers laquelle convergent toutes les valeurs de R.

Traçons la courbe pour c < 0, avec les 3 valeurs - 1, - 1,89 et – 3 :

 

Pour c < - 1,89, on a 3 racines réelles, une négative et deux positives.

Pour c = 1,89, une racine négative et une racine double positive.

Pour c > - 1,89, une seule racine négative.

Traçons les itérés de la méthode de Newton, avec N(x) = x – f(x)/f ‘(x) = (2x3 – 1)/(3x2 + c), en éliminant les premières valeurs qui sont des transitoires :

 

On constate que, si c < - 1,89, la méthode conduit à la plus petite racine positive ; si c > - 1,89, la méthode conduit pour la plupart des valeurs de c à la racine négative, avec des coupures où le comportement semble périodique ou chaotique.

Voyons de plus près le comportement pour – 1,3 < c < -1,25 :

 

Pour – 1,296, la méthode, qui menait à la racine négative, mène brusquement à un comportement chaotique, où le point oscille entre 2 cascades, d’où l’on sort par un scénario de division de la période par 2 (voir chapitre 5).

 

 

 

L’une des cascades est représentée ci-dessus.

Méthode de Newton dans le plan complexe

Appliquons la méthode de Newton dans le plan complexe à l’équation f(z) = z3 – 1, qui possède 3 racines, qui sont les racines cubiques de l’unité : 1, exp(2ip/3) et exp(4ip/3).

En itérant les points d’un grille, on peut tracer les bassins d’attraction de chacune des racines :

 

Ces bassins d’attraction sont complexes : les frontières entre les bassins sont des ensembles de Julia particuliers ; chaque fois qu’on a une frontière entre 2 couleurs, la troisième est toujours présente !

Le point origine est un croisement des 3 couleurs à cause de la symétrie par rotation de 120°. L’ensemble de Julia qui fait frontière entre les bassins est invariant par l’itération et l’origine en fait partie. Tous les itérés de l’origine font, par continuité, frontière entre les 3 bassins et l’ensemble de Julia est parcouru en entier par les itérés de l’origine.

Pour f(z) = z4 –1, on a les 4 racines : 1, - 1, exp(ip/2) et exp(- ip/2).

 

Là encore, chaque point de la frontière est frontière des 4 bassins. Au dessous, une autre vue, ressemblant à une fleur à 4 pétales.

 

 



 

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