Chapitre 3 : fractales naturelles

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Les systèmes L

La nature a adopté la géométrie fractale ; c’est le cas des côtes maritimes, des montagnes, des nuages, du bassin des fleuves ; pour les êtres vivants, c’est le cas des arbres et des arbustes ; les poumons et les systèmes artériels et veineux ont choisi également cette géométrie. Il ne s’agit pas de fractales strictement autosimilaires, mais de fractales statistiques, où l’on reconnaît l’organisation générale, mais où les détails diffèrent à l’intérieur du dessin.

Pour tâcher de reproduire les structures naturelles, Lindermayer (1925-1989) a introduit en 1968 les systèmes L. Il s’agit d’un algorithme plus souple que la machine à copies réduites multiples (MRCM : multiple reduction copy machine) utilisée pour construire les fractales autosimilaires.

Soit une tortue qui obéit à quelques instructions simples :

F avance  droit devant elle d’une longueur donnée en laissant une trace

f   avance comme F mais ne laisse pas de trace

a tourne sur place d’un angle a dans le sens positif (inverse des aiguilles d’une montre)

-a tourne de -a (sens des aiguilles)

Position finale

 
 


 

 

 

 

 

 

 

 

F a F f -a F -a F f a F a

 
 

 

 


Sur cet exemple, la tortue s’est déplacée en obéissant aux instructions données sous le dessin, avec a=90°.

Une fractale correspond à la donnée du système initial, ou axiome, et des règles de production qui indiquent de quelle manière sont transformés les symboles lors du passage à l’itération suivante.

Voyons comment se décrit la construction de la courbe de Koch dans la langage des systèmes L :

Axiome : F

Règles de production : F !’ F a F -a -a F a F

                                 a !’ a

                                 -a !’ -a

Paramètre : a=60°

 

 

Axiome : F

 

Etape 1 : F a F -a -a F a F

 
 

 

 


Pour la seconde étape, on appliquera les règles de production à chacun des symboles de la 1ère étape, ce qui donne :

F a F -a -a F a F a F a F -a -a F a F -a -a F a F -a -a F a F a F a F -a -a F

On ne s’est pas occupé de la grandeur du dessin, mais, dans la pratique, l’ordinateur adapte automatiquement l’échelle du dessin et il est inutile de s’en préoccuper.

Pour l’ensemble de Cantor, on peut écrire :

Axiome : F

Règles de production : F !’ F f F

                                  f !’ f f f

On obtient :

 

 

 

Axiome : F

 
 

 

Etape 1 : F f F

 
 

 

Etape 2 : F f F f f f F f F 

 
 

 

Etape 3 : F f F f f f F f F

              f f f f f f f f f

              F f F f f f F f F 

 
 

 

 

 


L’échelle est divisée par 3 à chaque dessin.

Arbustes

 

On peut utiliser les systèmes L pour dessiner des arbustes ou pour simuler la croissance des plantes. Mais il faut évidemment faire des branchements ; pour cela on utilise le symbole [ pour commencer un embranchement, et ] pour le terminer.

Soit par exemple la fractale :

Axiome : F

Règles de production :

F !’ F [a F] F [-a F] F, les autres symboles ne changeant pas, et  a = 30°.

Ci-dessus, le dessin obtenu après 1, 2, 3 et 4 itérations :

 

 

L’échelle a été divisée par 3 à chaque dessin.

En changeant uniquement la taille des branches, on obtient les arbustes suivants :

 

La longueur des branches est de 0,5, 1,3 et 1,8 fois la longueur des morceaux de tige.

Partons de 3 motifs différents :

 

 

On fait 12 dessins d’arbustes en prenant à chaque étape du calcul une des trois transformations au hasard :

 

Arbres

 

Une autre sorte de plante utilise le système L suivant :

Axiome F

Règles de production :

F !’ FF [a a F-a F-a F] ] [-a F a F a F]

Après 1, 2, 3 et 4 itérations, on obtient :

 

 

L’échelle a été divisée par 2 à chaque dessin.

Notre dernier exemple utilise un symbole B qui sert à définir le type de branchement , mais que la tortue ignore. Le système L est le suivant :

Axiome : B

Règles de production :

F !’ F F

B !’F [a B] F [ -a B] a B  avec a=30°

Chacune des branches est un arbre en réduction, mais l’arbre entier n’est pas la réunion de copies réduites de lui-même, à cause du tronc ; ceci provient du fait que l’embranchement B n’intervient qu’à la seconde itération.

Après 2 et 5 itérations, on obtient (avec des échelles de longueur différentes) :


Ile brownienne

On va tracer l’île brownienne en se servant de la construction du mouvement brownien par la méthode du déplacement  aléatoire du milieu (voir chapitre 2).

Partons d’un quadrilatère de forme quelconque. On déplace le milieu de chacun des côtés d’une grandeur aléatoire gaussienne sur la perpendiculaire au côté en multipliant par le facteur 1/2Hn, où H est l’exposant de Hurst du mouvement brownien fractionnaire (H = 1/2 pour le mouvement brownien à une dimension), et n le numéro de l’itération. L’exposant de Hurst va contrôler la "méandricité" de la côte, les fortes valeurs correspondant à une forme douce.

 

  

Ici, H prend les valeurs 0,1 (en haut à gauche), puis 0,3, 0,5, 0,7, 0,9 et 1,1. Une île réaliste nécessite un exposant de Hurst compris entre 0,5 pour une côte tourmentée et 1 pour une côte douce.

Montagnes

Pour tracer une montagne, on va généraliser à 2 dimensions la méthode du déplacement aléatoire du milieu. On part d’un tableau carré de dimension 3´3 à 9 coefficients fixés à 0 sauf le centre dont la valeur est un nombre gaussien aléatoire.

On intercale ensuite 2 lignes et 2 colonnes pour passer à un tableau de dimension 5 dont les coefficients des première et dernière lignes et colonnes sont fixés à 0. Les coefficients qui manquent sont obtenus en faisant la moyenne des 4 sommets et en ajoutant un nombre gaussien divisé par le facteur 1/2Hn.

Ici, on a une montagne avec H = 0,1, très tourmentée.

Avec H = 0,5, le relief est moins tourmenté.

 

Avec H = 0,9, le relief est plus doux.


 


 


 

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