Chapitre 2 : fractales physiques

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On va s’occuper dans ce chapitre des fractales statistiques, dans lesquelles intervient une part de hasard. Les fractales déterministes du chapitre précédent sont en effet trop "parfaites" et se distinguent du premier coup d’œil des phénomènes naturels ; il faut introduire une part de hasard pour se rapprocher des structures de la nature.

Le mouvement brownien

Distribution gaussienne

Quand on parle de hasard, on pense souvent au lancer des dés. Si on lance 6 fois un dé, on obtient un nombre compris entre 6 et 36. On a tracé ci-dessous la répartition des résultats de 4000 tirages de 6 dés :

 

Cette distribution a une forme caractéristique en cloche ; le théorème mathématique de la limite centrale dit que l’on obtient cette distribution chaque fois que l’on effectue la même expérience un grand nombre de fois ; c’est la distribution gaussienne, correspondant à la loi des grands nombres.

La distribution gaussienne normalisée est centrée sur 0 et sa variance est 1. Son expression mathématique est f(x) = 1/(2p)1/2´exp(-x2/2). La probabilité d’avoir un résultat dans l’intervalle dx est dP = f(x) dx.

Mouvement brownien à une dimension

On obtient un mouvement brownien à une dimension en ajoutant à chaque étape un nombre gaussien normalisé aléatoire au nombre précédent. En voici un exemple :

 

 

Cette courbe présente une invariance d’échelle : si l’on double l’échelle des temps (en prenant la première moitié de la courbe et en prenant l’unité de temps 2 fois plus grande), il faut multiplier l’échelle des amplitudes par  pour obtenir une figure similaire statistiquement, soit, si X(t) désigne la 1ère courbe et Y(t) la seconde, Y(t)=  X(t/2) et, de façon plus générale, Y(t)=21/2X(t/2) :

 

 

Ici, on a pris la 1ère moitié de la courbe, on a doublé l’échelle horizontale et multiplié l’échelle verticale par  ; la courbe obtenue n’est pas identique, mais présente, du point de vue statistique des caractéristiques similaires.

Ce facteur 1/2 figurant dans la puissance de 2 caractérise le mouvement brownien à une dimension, qui est une fractale dont la dimension fractale est égale à 3/2, intermédiaire entre la dimension 1 d’une courbe et la dimension 2 d’une surface.

Le mouvement brownien est un modèle intéressant pour un grand nombre de phénomènes physiques ou même économiques, comme la bourse. Il sert également à simuler les reliefs (la courbe précédente ressemble à une montagne).

Méthode par déplacement aléatoire du milieu

Du fait que, si l’on divise l’échelle des temps par 2, il faut diviser l’échelle des déplacements par  , on peut tracer la mouvement brownien de la façon suivante : on part du segment initial joignant l’origine et l’extrémité, l’abscisse de celle-ci étant 1 et l’ordonnée un nombre gaussien aléatoire. Puis, on forme deux segments en déplaçant le milieu du segment initial : on ajoute à son ordonnée un nombre aléatoire gaussien que l’on multiplie par le facteur d’échelle 1/ . On recommence l’opération sur les segments obtenus, le facteur d’échelle étant multiplié par 1/ à chaque étape, soit 1/ à la seconde étape, 1/ à la suivante…

 

On peut ainsi simuler le relief d’une montagne, celui-ci étant d’autant plus abrupt que l’on fait davantage d’itérations (en partant du bas, 1, 2, 3, 4, 6 et 8). On retrouvera cette méthode au chapitre 3 pour la simulation d’îles et de montagnes. 

Mouvement brownien fractionnaire

On peut se poser la question de savoir s’il existe des courbes de type brownien, dont le facteur d’échelle, nécessaire pour retrouver l’aspect statistique de la courbe lorsque l’abscisse est dilatée par 2, est différent de 21/2, mais de la forme 2H , où H est l’exposant de Hurst.

 

La figure ci-dessus représente 3 mouvements browniens dont les exposants de Hurst sont 0,1 (courbe inférieure), 0,5 (courbe du milieu) et 0,9 (courbe supérieure).

Pour H > 1/2, il y a une corrélation positive entre les incréments ; chaque nombre est proche de précédent et la courbe varie régulièrement. Pour H < 1/2, il y a une corrélation négative et la courbe présente des variations brusques ; le cas intermédiaire H = 1/2 correspond au mouvement brownien à 1 dimension où chaque nombre est indépendant du précédent.

Comme pour toutes les fractales, les propriétés des divers mouvements browniens (que l’on appelle encore des bruits) obéissent à des lois de puissance. En particulier, le spectre de puissance (amplitude au carré des composantes de la transformée de Fourier), continu pour un mouvement brownien non périodique, a une dépendance en fréquence du type f  - b, avec b = 2H + 1. Le bruit blanc correspond à H = -1/2 et b = 0 : le spectre de puissance est indépendant de la fréquence, c’est le cas de la lumière blanche. Le mouvement brownien correspond à H=1/2 et b = 2. Si H > 1/2 et b > 2, on parle d’un bruit noir. Les statistiques annuelles du débit du Rhin font apparaître un bruit brownien, celles du Nil un bruit noir correspondant à une grande persistance, due aux zones marécageuses du Soudan faisant office de tampon.

Mouvements brownien dans un plan

C’est le mouvement irrégulier d’un grain de poussière dans un rayon de soleil. Ce grain est soumis à des chocs incessants de particules plus petites et invisibles. On le simule en disant qu’à chaque intervalle de temps, le grain part dans une direction arbitraire en parcourant une distance qui est un nombre gaussien aléatoire. La figure obtenue a l’aspect suivant :

 

 Agrandissons d’un facteur 2 la partie encadrée :

 

 

Maintenant, on reprend le dessin initial, en ne traçant qu’un point sur 4 :

 

L’agrandissement par un facteur 2 du quart de la figure a le même aspect statistique que la figure entière avec un nombre de points 4 fois plus petit ; le mouvement brownien à 2 dimensions est autosimilaire et sa dimension fractale d est 2 : il faut 4 fois plus de points pour retrouver une figure similaire à la figure initiale dont l’échelle a été divisée par 2, soit N = (1/s)d  avec 4 = 22 .

Percolation et changements de phase

Percolation

Le nom de percolation vient du passage de l’eau à travers la poudre de café. On a entre les grains de poudre des pores qui laissent passer l’eau. Lorsque les pores sont reliés entre eux, ils forment des amas où l’eau peut se déplacer. Si les pores ne sont pas assez nombreux, les amas ne seront pas reliés entre eux et l’eau ne pourra pas passer à travers le café. Pour une certaine valeur du nombre de pores, qui est le seuil de percolation, il existe un amas, l’amas percolant, qui relie les frontières supérieure et inférieure du café et l’eau passe. Les pores ont acquis la propriété collective macroscopique de laisser passer l’eau à travers le café.

On parle plus généralement de percolation quand des particules en grand nombre, initialement  indépendantes, viennent à coopérer pour former un objet unique ; on peut dire encore qu’une collection d’individus acquiert des propriétés collectives, appelées propriétés émergentes, que ne possèdent pas les individus. La théorie de la percolation explique les changements de phase, tels que le passage paramagnétique-ferromagnétique (un corps aimanté pert brusquement ses propriétés ferromagnétiques à une température appelée température de Curie du corps), le passage conducteur-supraconducteur ou état normal-état superfluide.

Feu de forêt

Un exemple classique de percolation, facile à programmer sur un ordinateur, est le feu de forêt.

L’hypothèse est que le feu passe d’arbre en arbre lorsque les arbres sont voisins. On conçoit aisément que, lorsque les arbres sont dispersés, le feu ne puisse pas se propager. Par contre, si les arbres sont serrés, la forêt entière va brûler. Entre ces deux cas, il existe une valeur du taux d’occupation du sol par les arbres où le feu, sans tout brûler, passe d’un bord de la forêt à l’autre. C’est le seuil de percolation.

On a représenté ci-dessous une forêt occupée à 60% (les arbres occupent les cases grisées) :

Au départ, on met le feu à la première rangée d’arbres inférieure. A chaque intervalle de temps, un arbre qui brûle propage le feu à ses quatre voisins (N, S, E et O) et, à l’intervalle de temps suivant, il se transforme en souche (c’est un exemple d’automate cellulaire, où les propriétés d’une cellule à l’instant t ne dépendent que des propriétés des cellules voisines à l’instant t-1). Par exemple, après 30 unités de temps, l’état de la forêt est le suivant :

 

 

La moitié inférieure de la forêt est quasiment brûlée, et trois arbres sont en train de brûler.

Après 120 unités de temps, le feu s’est arrêté et la majeure partie de la forêt a brûlé :

 

La probabilité d’occupation choisie est au dessus du seuil de percolation dont la valeur admise est de 0,5928. Au dessous de ce seuil, le feu n’atteint généralement pas la rangée supérieure, d’où l’intérêt de rester au dessous du seuil dans les régions craignant les incendies !

Par exemple, avec une occupation de 0,555, seule la partie inférieure de la forêt a brûlé:

 

Les changements de phase

Si l’on place des sites au hasard sur un réseau, ceux-ci sont connectés lorsqu’ils sont voisins (N, S, E et O). L’ensemble des sites connectés forme un amas. La taille moyenne des amas est mesurée par la longueur de corrélation (distance moyenne entre deux sites du même amas).

Lorsque la probabilité d’occupation augmente (on parle de paramètre de contrôle), la longueur de corrélation augmente également, et, pour une certaine valeur du taux d’occupation qui est le seuil de percolation, ou point critique dans la langage des transitions de phase, apparaît l’amas percolant qui s’étend d’une frontière à l’autre et permet donc de passer à travers le réseau. La longueur de corrélation devient infinie. C’est le cas de l’incendie qui s’étend d’un bout à l’autre de la forêt (sur un réseau infini).

Au voisinage du point critique, les variables pertinentes du problème obéissent à des lois d’échelle qui sont des lois de puissance signant le caractère fractal de la transition. La longueur de corrélation diverge, l’exposant de la loi de puissance étant l’indice critique associé à la longueur de corrélation.

Dans la phase ordonnée (phase connectée dans la percolation au dessus du seuil), l’ordre est quantifié par le paramètre d’ordre, qui est nul dans la phase désordonnée et augmente avec le paramètre de contrôle dans la phase ordonnée (pour la percolation, c’est la probabilité d’être dans l’amas percolant qui envahit très rapidement le réseau entier). Il existe également un indice critique relatif au paramètre d’ordre.

Les indices critiques ont un caractère d’universalité, en ce sens qu’ils ont la même valeur pour toute une classe de phénomènes dont le mécanisme profond (d’origine géométrique) est identique et qui diffèrent par des détails non pertinents.

Prenons l’exemple de la transition para-ferromagnétique. Le matériau ferromagnétique (aimant) est constitué de petits aimants élémentaires qui ont tendance à prendre la même orientation que les aimants voisins. On a un antagonisme du type ordre-désordre : bien au dessus du point de Curie, l’agitation thermique empêche la formation de domaines de même orientation et l’aimantation moyenne est nulle. Lorsque la température baisse, l’interaction à courte portée qui tend à aligner les aimants commence à se faire sentir et il se forme des domaines de Curie avec la même orientation. Ceux-ci deviennent de plus en plus grands avec la baisse de la température, mais globalement orientés différemment ; l’aimantation du matériau reste nulle.

Il existe une température, la température de Curie, où l’ordre finit par gagner ; un domaine de Curie envahit l’échantillon et impose son orientation ; une aimantation globale du matériau apparaît : c’est le paramètre d’ordre. Au dessous du point de Curie, les poches de désordre se résorbent, l’aimantation augmente jusqu’à la valeur de saturation obtenue lorsque tous les aimants élémentaires ont pris la même direction.

Les transitions brutales et fractales du type changements de  phase se retrouvent dans le passage des régimes réguliers aux régimes chaotiques, comme nous le verrons avec l’application logistique.

Les fractales jouent un rôle important dans l’apparition des propriétés émergentes et le passage du microscopique au macroscopique. L’intérêt de celles-ci est de présenter le même comportement à toutes les échelles, et le moindre changement peut alors faire basculer le système entier.

 

Les mécanismes d’agrégation

L’agrégation consiste à former des structures macroscopiques à partir de particules ou d’agrégats plus petits.

Le processus est du type particule-amas si les particules viennent se coller sur l’amas et le font grossir ; il est du type amas-amas si l’agrégation se fait entre amas de taille voisine.

Pour le type particule-amas, on distingue l’agrégation balistique, où la particule évolue librement suivant une droite dans l’espace et se colle sur l’amas dès qu’il y a rencontre, l’agrégation limitée par diffusion (DLA) où les particules, avant de se coller, étaient soumises à un mouvement brownien au hasard et enfin l’agrégation par réaction où les particules sont immobiles et la propriété d’être sur l’amas se fait par contact, comme une épidémie ou un feu qui se propage.

L’agrégation balistique

Les particules se déplacent en ligne droite et se collent dès leur rencontre avec l’amas (N, S, E et O). Voyons quelques simulations ; tout d’abord, on place au hasard une particule sur 2 sur la rangée inférieure, puis on envoie des particules qui tombent verticalement de façon aléatoire. Avec 1000 particules lancées, on obtient :

 

Si l’on part avec uniquement 3 particules dans la première rangée, on obtient un paysage arborescent :

 

 

Avec une particule au centre et des particules lancées au hasard du haut et du bas, on obtient :

 

 

L’amas est relativement compact et sa dimension fractale est 2 (la densité de particules ne dépend pas du rayon de l’amas).

Agrégation limitée par diffusion (DLA)

On place au départ une molécule-cible au centre du réseau. On envoie une par une des particules partant au hasard des bords du réseau, ces particules passant à chaque unité de temps d’un site à un site voisin choisi au hasard parmi les 4 sites connectés (N, S, E et O). Dès qu’une particule touche une autre particule, elle s’y colle. Cela donne par exemple :

 

Le mécanisme DLA mène à une structure dendritique avec des "fjords" sur plusieurs échelles de dimension. Une particule qui se déplace au hasard va venir se coller de préférence aux extrémités et ne pourra pas pénétrer profondément dans les fjords. On retrouve l’effet de pointe du champ électrique dont l’intensité est plus importante au voisinage d’une pointe. Cette correspondance entre la croissance fractale DLA et la théorie du potentiel électrique satisfaisant à l’équation de Laplace est à l’origine du nom de fractales laplaciennes donné aux fractales DLA que l’on obtient par dépôt électrolytique, injection d’un fluide, décharges électriques et bien d’autres phénomènes.

On peut chercher la dimension fractale de l’amas.

Pour cela, on cherche le nombre de particules de l’amas contenu dans un rayon donné, et on trace un diagramme log-log du logarithme du nombre de particules compté en fonction du logarithme du rayon :

 

A partir d’une certaine valeur du rayon, la figure obtenue est une droite ; au départ, en effet, le nombre de particules dépend des détails locaux à l’origine. L’équation est du type log N = a log R + log b, a et b étant des constantes, et N = b Ra, a étant la dimension fractale (dimension de masse).

On trouve une valeur proche de la valeur 1,7 donnée dans la littérature.

L’amas d’Eden

C’est un exemple d’agrégation par réaction. Le modèle d’Eden simule la prolifération des cellules malades par contamination aux cellules voisines connectées (N, S, E et O), appelées sites de croissance. On part d’une cellule malade, qui est la graine, et, à chaque intervalle de temps, un seul site de croissance au hasard est contaminé.

Cela donne un amas assez compact avec seulement quelques trous, mais à la surface assez tourmentée :

 

On peut tracer les sites de croissance qui représentent le front de l’épidémie ; la surface est très rugueuse :

 


 

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