Chapitre 1 : fractales

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Historique

Le "père" des fractales est le mathématicien franco-américain Benoit Mendelbrot, né en Pologne en 1924, émigré en France en 1936, puis aux Etats-Unis après ses études supérieures à Paris. Un certain nombre de fractales avait cependant déjà été décrites pendant le demi-siècle précédent, mais plutôt comme des monstruosités mathématiques : citons l’ensemble de Cantor (Georg Cantor, 1845-1918), les courbes de Péano  (Giuseppe Péano, 1858-1932), de Hilbert (David Hilbert, 1862-1943), le triangle de Sierpinski (Waclaw Sierpinski, 1882-1969) ou les ensembles de Julia (Gaston Julia, 1893-1978).

Cantor était un mathématicien allemand à l’origine de la théorie des ensembles. Son travail sur l’ensemble de Cantor, considéré comme exemple d’ensemble exceptionnel, ou  "monstre mathématique", date de 1883. Le but de Cantor était de montrer qu’il pouvait exister un ensemble de points discontinu, donc de dimension topologique 0, et cependant en nombre infini, comparable à celui des nombres réels. L’ensemble de Cantor joue un rôle très important dans de nombreuses branches des mathématiques et dans les systèmes dynamiques comme une "poussière de points".

Giuseppe Péano, en 1890, et David Hilbert, en 1891, ont fabriqué des courbes qui "remplissent le plan", montrant que la notion de dimension n’est pas simple, puisqu’une courbe de dimension 1  remplit une surface de dimension topologique 2.

Waclaw Sierpinski est un grand mathématicien Polonais, professeur à Lvov (ville polonaise jusqu’en 1939 et maintenant en Ukraine), puis à Varsovie.

Gaston Julia n’avait que 25 ans en 1918 quand il publie son œuvre maîtresse "Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles" où il introduit les ensembles de Julia. Blessé et ayant perdu son nez au cours de la première guerre, il deviendra professeur à l’Ecole Polytechnique.

Citons encore Félix Hausdorff (1868-1942), mathématicien à l’université de Bonn, auteur de la dimension de Hausdorff. Juif, il se suicidera à l’annonce de sa déportation en camp de concentration.

Le mérite fondamental de Mendelbrot est d’avoir compris que les monstres mathématiques découverts par ses prédécesseurs, n’étaient pas des monstres, mais au contraire la géométrie habituelle de la nature. Citons une phrase de son livre "La géométrie fractale de la nature" : "Les nuages ne sont pas des sphères, les montagnes ne sont pas des cônes, les côtes ne sont pas des cercles, l’écorce n’est pas lisse et l’éclair ne se déplace pas en ligne droite". La géométrie euclidienne ne correspond pas aux phénomènes naturels ; ceux-ci présentent de multiples détails à toutes les échelles, tout en étant souvent structurés de la même façon sur plusieurs échelles de dimension, c’est le cas des arbres, des nuages, des montagnes ou du bassin d’un fleuve ; la géométrie de la nature est fractale.

L’autre grand mérite de Mendelbrot est d’avoir utilisé ce formidable outil qu’est l’ordinateur pour construire les fractales et en particulier le fameux ensemble de Mendelbrot, devenu un des symboles des nouvelles mathématiques. Nul ne peut réellement comprendre ce qu’est une fractale avant d’avoir vu celle-ci se construire pas à pas sur l’écran pour former un dessin merveilleux. L’usage de l’ordinateur a remis à l’honneur les mathématiques expérimentales, la science des fractales et du chaos lui doit tout.

Autosimilarité

Au sens strict, les fractales sont des figures autosimilaires. Cela signifie que la figure se compose d’un certain nombre de copies réduites d’elle-même. Considérons la figure appelée "triangle de Sierpinski" :

 


 


Si l’on fait trois copies réduites d’un facteur 1/2 en longueur du dessin, on obtient trois triangles qui reforment le triangle initial. Chacun des trois triangles se compose à son tour de trois triangles réduits de 1/4 par rapport au triangle initial, et ainsi de suite.

A noter que, sur la figure présentée ci-dessus, on ne pourrait renouveler l’opération que 5 fois, car le dessin ne laisse voir que 243=35 triangles de grandeur minimale (1/2)5=1/32 du triangle initial. Dans une fractale, l’opération peut se répéter indéfiniment sur des triangles qui deviennent  infiniment petits : le dessin présenté est en fait une préfractale, que l’on a arrêté à la 4ième itération.

Pour dire les choses différemment, si l’on agrandit d’un facteur 3 un des triangles formant le tiers du triangle initial, en faisant apparaître des détails plus fins, on retrouve le triangle entier. Il y a invariance d’échelle.

La nature et l’activité humaine nous fournissent de nombreux exemples de préfractales : un chou-fleur se compose de petits chou-fleurs qui se composent à leur tour de petits chou-fleurs ; c’est un système hiérarchique, avec une hiérarchie identique à tous les niveaux. Un arbre se compose de branches, qui sont des arbres en réduction ; la branche se compose à son tour de petites branches, et ainsi de suite.

L’autosimilarité ne définit pas complètement une fractale. Un segment de droite, par exemple est autosimilaire, en ce sens que l’on peut en faire des copies réduites qui reforment le segment originel. La différence avec la fractale est que l’on peut choisir pour facteur de diminution n’importe quel nombre entier ; 5 copies réduites d’un facteur 1/5 reforment bien le segment original par exemple, tandis que, pour une fractale, il n’y a qu’un seul facteur qui marche, ½ pour le triangle de Sierpinski.

Une autre différence plus fondamentale est que la fractale présente des irrégularités à toutes les échelles. D’ailleurs, le mot fractale vient du latin frangere, qui veut dire "casser".

Fractales statistiques

Lorsque l’on regarde un arbre, on remarque que la branche n’est jamais la copie exacte de l’arbre. On reconnaît bien la forme générale, mais les détails sont différents : les fractales naturelles sont des fractales statistiques ; citons les côtes, le bassin d’un fleuve avec les rivières qui s’y jettent, une chaîne de montagne vue par avion ou encore un nuage, ou, dans un autre ordre d’idées, les poumons ou la circulation sanguine. Celle-ci, des artères aux vaisseaux, offre une très grande surface d’échange pour un petit volume ; c’est là une des utilités importantes des fractales.

On retrouve la structure hiérarchisée d’une fractale dans la loi générale appelée la répartition 20/80 : les 20% les plus riches de la planète possèdent 80% des richesses ; les 20% des plus riches possèdent 80% des 80%, et ainsi de suite ; il en est de même de la répartition des habitants sur la terre : 80% des hommes occupent 20% de la surface des continents ; 80% des 80% occupent 20% des 20%, et ainsi de suite. Paris regroupe 1/5 des français sur un petit territoire !

La bourse également a un comportement fractal : les petites fluctuations y reproduisent les grandes à une échelle réduite ; c’est dire si d’innombrables systèmes ont adopté la structure fractale avec ses multiples avantages.

La courbe de Koch

Prenons un autre exemple classique de fractale, la courbe de Koch : on l’obtient de la façon suivante :

 

 


 

 


On part d’un segment de longueur 1, appelé initiateur : on en fait 4 copies réduites du facteur 1/3, donc de longueur 1/3, et l’on réunit ces 4 segments pour former la 1ère itération, le générateur. Puis on remplace les 4 segments de la 1ère itération de la même façon pour obtenir la 2ième itération. En continuant l’opération indéfiniment, on obtient à la limite une fractale, la courbe de Koch.

On peut partir d’un autre initiateur, par exemple un rectangle :

 


 


On constate qu’à la limite, on obtient également la courbe de Koch, puisque la largeur du rectangle est diminuée par 3 à chaque itération ; la fractale ne dépend pas du dessin initial, mais uniquement de l’opérateur qui fait passer de l’initiateur au générateur.

Pour construire la courbe de Koch, il faut donner la succession d’ordres suivant, qui constitue l’algorithme du programme d’ordinateur correspondant :

Prendre un segment de grandeur unité

Faire une réduction de 1/3 à partir de l’origine

Faire une 2ième réduction de 1/3, la faire tourner de 60° et la translater de 1/3

Faire une 3ième réduction de 1/3, la faire tourner de -60° et la translater pour l’amener à l’extrémité du segment précédent

Faire une 4ième réduction de 1/3  et la translater de 2/3

Recommencer l’opération un certain nombre de fois sur chacun des segments obtenus.

 

Cette transformation de similarité peut se résumer dans le tableau suivant :

 

Numéro

k

Echelle

s

Rotation

q

Translation

Tx

Translation

Ty

1

2

3

4

1/3

1/3

1/3

1/3

60°

-60°

 

0

1/3

1/2

2/3

0

0

0

En tenant compte de cos 60° = 1/2, sin 60° = , on obtient les équations explicites :

 

transformation

Partie x

Partie y

w1(x, y)

w2(x ,y)

w3(x ,y)

w4(x, y)

 

x/3

x/6-y+1/3

x/6+y+1/2

x/3+2/3

y/3

x+y/6

-x+y/6+

y/3

 

Ceci se programme facilement dans un langage approprié au logiciel utilisé (Maple, Mathématica, Matlab…). Le dessin ci-dessus a été tracé avec le logiciel de calcul formel Maple avec un programme de 4 instructions.

La construction des fractales est exactement le genre de calcul que sait faire un ordinateur. Ce n’est d’ailleurs sans doute pas un hasard, mais une correspondance profonde entre la logique de l’ordinateur et la logique utilisée par la nature, souvent très différente de la logique de l’ingénieur, qui a un but en tête. La nature n’a pas de but : elle obéit au second principe de la thermodynamique, qui dit en gros que les systèmes suivent leur cours (naturel !), utilise le hasard et une méthode de tri extrêmement efficace, qui est la sélection naturelle ; le résultat en est la complexité merveilleuse et le foisonnement de la vie !

Les règles de construction des fractales, comme celles de la vie, sont souvent très simples, mais le résultat est parfois très complexe.

L’opérateur de Hutchinson

L’opération de collage décrite ci-dessus qui mène à la fractale peut se décrire par un seul opérateur mathématique. A étant une image, appelons H(A) le collage, c’est-à-dire la réunion des 4 transformations qui font passer à l’itération suivante :

H(A) = h1(A)h2(A) h3(A) h4(A)

En fait, l’opérateur H caractérise entièrement la fractale, c’est l’opérateur de Hutchinson de la fractale.

Cet opérateur H a deux intérêts :

·         on passe d’une itération à la suivante en appliquant l’opérateur de Hutchinson : si A0 est le segment initial, An la nième itération, alors An+1 = H(An) pour n=0,1,2…Plus n est grand, plus on se rapproche de la fractale ; en général, 4 à 5 itérations suffisent à se faire une bonne idée de la fractale.

·         Si A désigne la fractale, c’est-à-dire la limite du processus d’itération lorsque n!’", on a

H(A) = A

avec pour conséquence que la fractale est solution, et même solution unique, de l’équation précédente. La fractale est définie comme solution unique d’une équation algébrique.

Dimension fractale

On s’intéresse au nombre de segments que comporte la courbe de Koch aux différentes échelles :

A l’échelle 1, il y a 1 segment

A l’échelle 1/3, il y a 4 segments

A l’échelle 1/9=(1/3)2, il y a 16=42 segments

A l’échelle 1/27=(1/3)3, il y a 64=43 segments, etc…

Il y a manifestement une relation entre le nombre de segments et l’échelle ; désignons par N le nombre de segments et s l’échelle. La loi est du type

N=(1/s)D

En effet, prenons le logarithme (décimal ou népérien noté ln) de cette égalité :

ln(N)=ln((1/s)D)=D×ln(1/s), et D=ln(N)/ln(1/s)

Ici, à la nième itération, N=4n et 1/s=3n, d’où D=n×ln(4)/(n×ln(3))=ln(4)/ln(3),  ce qui donne pour D la valeur1,26.

Ce genre de relation est ce que l’on appelle une loi de puissance, et c’est là une caractéristique importante des fractales. Les éléments quantitatifs d’une fractale, nombre de morceaux, longueur, surface, volume, masse sont toujours des lois de puissance par rapport à l’échelle.

La dimension D ainsi définie est la dimension d’autosimilarité de la fractale. C’est une des formes de la dimension fractale de Mendelbrot . On constate que, pour une fractale, la dimension n’est pas un nombre entier ; ici, elle est comprise entre 1 et 2, et la courbe de Koch est intermédiaire entre une ligne et une surface.

On peut retrouver facilement la dimension fractale de façon graphique : la loi N=(1/s)D  peut s’écrire en passant aux logarithmes :

ln(N)=D×ln(1/s)

En traçant le diagramme appelé log-log, où l’on met le logarithme de 1/s en abscisse et le logarithme de N en ordonnée, on obtient une droite dont la pente est la dimension fractale D.

Quelle est la longueur de la courbe de Koch ? On se rend compte immédiatement que la longueur dépend de l’échelle ; la longueur du segment initial est 1, celle de la 1ière itération 4/3, puis 16/9=(4/3)² à la seconde itération et (4/3)n à la niéme itération. Lorsque n!’", cette longueur devient infinie ! Ce qui nous confirme que la courbe de Koch, de dimension fractale 1,26, est plus qu’une ligne et moins qu’une surface.

Traçons le diagramme log-log en reportant le logarithme de la longueur en fonction du logarithme de 1/s :

 


 

Le diagramme nous confirme qu’il s’agit d’une loi de puissance : la longueur L=(1/s)d,  soit (4/3)n=(3n)d=3nd, et

d=log(4/3)/log(3)=log4/log3-1=D-1=0,26

ce que confirme le diagramme où la pente est bien de 0,26. Toutes les propriétés des fractales s’expriment en loi de puissance : c’est une propriété caractéristique des fractales.

Notons que la dimension d’autosimilarité n’est pas la seule façon de définir la dimension fractale : citons la méthode des boîtes, qui consiste à tracer un quadrillage de côté 1/s et à compter le nombre de carrés qui touchent la courbe, ou la méthode du compas, utilisée pour mesurer la longueur en comptant à l’aide d’un compas le nombre d’unités de longueur dans l’échelle choisie.

Autres fractales de Sierpinski

On peut, sur le même modèle que le triangle, tracer toute une faune dans le jardin zoologique de Sierpinski. Prenons quelques exemples.

A la place du triangle, on peut partir d’un carré : on le divise en 9 et on retire le petit carré central , puis on recommence la même opération sur chacun des carrés restant, et ainsi de suite. On obtient la fractale suivante :

 

 

C’est le carré de Sierpinski.

Si l’on part d’un pentagone, on peut le diviser en 6 pentagones et 5 triangles :

 

 

On retire le pentagone central et les 5 triangles. Puis on recommence de la même façon sur les 5 pentagones restants :

 


On obtient le pentagone de Sierpinski. Traçons la fractale en partant d’un octogone :

 

L’ensemble de Cantor

L’ensemble de Cantor joue un rôle important dans de nombreuses branches des mathématiques. Il fut construit par Cantor en 1883 ; c’est en quelque sorte une "poussière de points", ensemble infini de points discontinu et de dimension topologique 0.

Tracé de l’attracteur

Une façon géométrique très simple de le définir est de partir d’un segment de longueur 1 et de retirer le tiers central, puis de retirer le tiers central des 2 segments restants et ainsi de suite. On obtient à la limite une poussière de points qui constitue l’ensemble de Cantor et qui est difficile à visualiser.

Une manière de le rendre visible est de tracer un faisceau de demi-droites aboutissant aux premiers points de l’ensemble de Cantor :

 

C’est l’ensemble de Cantor avec un faisceau convergent.

 

Ici, l’ensemble de Cantor est visualisé par un faisceau parallèle. On peut tracer également un carré de Cantor :

 

L’opérateur de Hutchinson H de l’ensemble de Cantor est la réunion de 2 similitudes, dont l’une est une réduction de rapport 1/3, d’équation x’ = x/3, et l’autre la même réduction, suivie d’une translation de 2/3, d’équation x’ = x/3+2/3. L’ensemble de Cantor C satisfait alors à H(C) = C ; partant du segment C0 de longueur 1, on passe à C1 = H(C0), puis C2 = H(C1) ; au bout de 4 ou 5 itérations, on a déjà une bonne idée de la fractale.

L’ensemble de Cantor par le jeu du chaos

On peut tracer également l’ensemble de Cantor par le jeu du chaos. Partant d’un point au hasard sur le segment [0, 1], on tire à pile ou face : si c’est pile, on déplace le point au tiers de sa distance à l’origine ; si c’est face, au tiers de sa distance au point extrémité. Après quelques tours de jeu, le point se déplace sur l’ensemble de Cantor.

Pour le voir, plaçons nous en base 3 ; dans cette base, les nombres sont écrits uniquement avec 0,1 et 2. Par exemple, le nombre écrit 251 en base 10 est égal à 243+8, soit 35 +2´3 + 2 = 1´35 +0´34 + 0´33 + 0´32 + 2´31 + 2´30. En base 3, il s’écrit 100022. Un nombre compris entre 0 et 1/3 commence par 0,0, entre 1/3 et 2/3 par 0,1, et entre 2/3 et 1 par 0,2. Lorsqu’on divise un nombre compris entre 0 et 1 par 3, cela revient à intercaler un 0 à droite de la virgule, ce qui fait que, si l’on tombe sur pile, le nombre commencera par 0,00.. ou 0,01.. ou 0.02.. ; si l’on tombe sur face, on ajoute 2/3 au nombre divisé par 3 et on intercale un 2 après la virgule, d’où un nombre commençant par 0,20.. ou 0,21.. ou 0,22.. Dans tous les cas, il n’y a pas de 1 à la première place après la virgule, ce qui signifie que l’on a évacué les nombres entre 1/3 et 2/3.

Au tour suivant, les 1 à la seconde place après la virgule seront évacués, et on voit qu’à la limite, les nombres de Cantor sont les nombres qui n’ont pas de 1 dans leur écriture en base 3.

L’ensemble de Cantor comme bassin d’attraction

On retrouve l’ensemble de Cantor dans une situation tout à fait différente.

On considère l’application de la figure ci-dessous en forme de tente définie par

x £ 0,5  f(x) = 3x

x > 0,5  f(x) = 3 – 3x

Partant d’un point x0, on itère l’application f, c’est-à-dire que l’on passe à x1 = f(x0), puis à x2 = f(x1) et ainsi de suite. Cela revient sur le graphe à tracer la verticale partant de x0 jusqu’à la courbe, puis l’horizontale jusqu’à la bissectrice, puis à nouveau la verticale jusqu’à la courbe et ainsi de suite. C’est un graphe en toile d’araignée.

Si l’on part d’une valeur entre 1/3 et 2/3, on voit qu’à la première itération, on sort du carré de côté 1 issu de O et que les itérés successifs tendent rapidement vers - ¥. Si l’on s’intéresse à l’ensemble des valeurs telles que les itérés successifs restent dans l’intervalle [0, 1], que l’on appelle l’ensemble des prisonniers, on doit exclure au premier tour le tiers central. On exclut au second tour les nombres dont la première itération tombe dans le tiers central, c’est-à-dire ceux qui sont compris entre 1/9 et 2/9 (en les multipliant par 3, on arrive entre 1/3 et 2/3), ou entre 7/9 et 8/9 (tels que 3 – 3x tombe entre 1/3 et 2/3), donc le tiers central des segments restant.

Partant du nombre 0,29 compris entre 7/27 et 8/27, on va sortir au 3ième tour, comme on le voit sur la figure :

 

 

Finalement, l’ensemble des prisonniers s’obtient en excluant les tiers centraux : c’est l’ensemble de Cantor.

On peut dire encore que tous les nombres réels sont itérés à - ¥, à l’exception des nombres de Cantor. Les nombres qui n’appartiennent pas à l’ensemble de Cantor constitue le bassin d’attraction du point à - ¥. On verra que de nombreuses fractales sont des frontières de bassins d’attraction.

La courbe du dragon

C’est la courbe obtenue en pliant en 2 une feuille de papier, puis encore en 2 dans le même sens, et en répétant encore l’opération. Après 3 itérations, en dépliant la feuille et en regardant par la tranche, on voit le pliage suivant, qui est le point de départ de la fractale :

 

Après 4 itérations, on obtient :

 

A la 12ième itération, on reconnaît la fractale du dragon :

 

 

Les courbes de Péano et de Hilbert

Ce sont des courbes introduites par Péano en 1890 et par Hilbert en 1891, qui "remplissent" le plan, en ce sens que ces courbes passent par tous les points d’une portion de plan. Leur dimension fractale est 2. La nature procède de la même façon lorsqu’elle irrigue la totalité des cellules à l’aide du réseau sanguin.

La courbe de Péano

Sa construction consiste à remplacer le segment de longueur 1 par le motif constitué de 9 petits segments de longueur 1/3, dans l’ordre indiqué sur la figure :

 

En répétant l’opération, on obtient la courbe de Péano :

 

Si l’on arrondit les angles, on obtient :

 

La courbe de Hilbert

La courbe de Hilbert ne présente pas l’aspect labyrinthique  de la courbe de Péano, mais des intersections. Le point de départ se compose de 3 segments ; la seconde étape s’obtient à l’aide de 4 copies de la 1ère, disposées comme ci-dessous, et la 3ième étape répète le même processus à partir de la seconde :

Après 6 itérations, on obtient :

 

Transformations linéaires affines

Les fractales strictement autosimilaires ne font intervenir que des similitudes (changement d’échelle ou homothétie, rotation, translation et réflexion). Les similitudes conservent les angles et le facteur d’échelle est le même sur tous les axes. On a alors autosimilarité en tout point : en agrandissant n’importe laquelle des parties de la figure, on retrouve la figure entière. C’est le cas du triangle de Sierpinski ou de la courbe de Koch.

 

 

Dans la figure de gauche, on voit que l’autosimilarité n’est vérifiée qu’en un seul point : le point de convergence des rectangles successifs. Si l’on agrandit une petite région autour de ce point, on retrouve la figure entière. C’est le cas du moine sur le couvercle du camembert qui tient à la main une boite de camembert où l’on voit le moine qui tient à la main une boite de camembert…, ou encore des poupées russes ; il s’agit de l’autosimilarité en un point. La figure obtenue sera encore appelée une fractale, mais ce n’est plus une fractale au sens strict.

Dans la figure de droite, chaque branche est bien un petit arbre en réduction, mais l’arbre entier n’est pas la réunion de copies réduites de lui-même : il se compose en effet de 2 copies réduites (les 2 branches principales), mais il faut ajouter le tronc, qui n’est pas une copie de l’arbre. Pour obtenir le tronc à partir de l’arbre, il faut faire un changement d’échelle suivant la largeur avec un facteur nul, qui ramène l’arbre sur le tronc. Il s’agit d’une fractale autoaffine.

 Cette généralisation autorise alors toutes les transformations linéaires affines, c’est-à-dire les transformations linéaires générales, associées à des translations. Cela autorise des cisaillements qui ne conservent pas les angles et des facteurs d’échelle différents suivant les axes, qui conduisent à des fractales plus variées recopiant mieux la nature. On les retrouvera au chapitre 3 sur les fractales naturelles.

Par exemple, la fougère de Barnsley part d’un carré de côté 1. A la 1ère étape, on fait 4 images du carré par des transformations linéaires affines (la transformation 4 réduit le carré en un segment) : 

 

 

A la seconde étape, on applique les 4 transformations aux 4 figures de la 1ère itération et ainsi de suite.

Après plusieurs itérations, on obtient la fougère de Barnsley (obtenue avec 4000 points) :

En changeant progressivement les paramètres des transformations, on peut passer progressivement d’une fractale à une autre. C’est le cas du passage du triangle de Sierpinski à l’arbre de Noël :

 

 

 


 

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