chapitre2
Propriétés thermoélastiques des gaz
Lois historiques des gaz parfaits
On appelle fluide tout corps qui peut changer de forme même sous l'action d'une force très faible. Le contraire de fluide est solide.
Les fluides comprennent les liquides et les gaz.
Un fluide est dit parfait si les différentes couches peuvent glisser les unes sur les autres sans frottement. S'il y a frottement (fluide), le fluide est visqueux. Cependant, au repos, les frottements s'annullent et les fluides réels (visqueux) se comportent comme des fluides parfaits.
Soit donc un fluide parfait ou un fluide visqueux au repos.
Isolons par la pensée un volume du fluide et soit une petite surface dS de la surface limitant le volume.
figure 1 : pression en un
point
Le reste du fluide exerce sur dS une force
normale à dS en l'absence de frottement ;de plus,
est proportionnelle à dS et l'on pose
df = pdS avec
où
est le vecteur unitaire à la surface dirigée vers l'intérieur
du volume.
p esr la pression s'exerçant au point M considéré ;on montre que cette pression ne dépend que de M et non de l'orientation de la surface choisie.
L'unité de pression dans le système international
(SI) est le Pascal Pa avec
On utilise souvent un multiple qui est le bar, avec
Les données météorologiques sont souvent données en
millibars (mbar) ou, de façon équivalente,
en hectopascals (hePa)
Il existe un certain nombre d'autres unités : l'atmosphère (atm),
qui est la pression moyenne au niveau de la mer, presque égale à
1bar
:
Mesurée à l'aide du baromètre de Toricelli, l'atmosphère
correspond à une montée dans le tube du mercure de
760mm
Pour cette raison, et à tort, on mesure parfois la pression en
millimètres de mercure, avec
figure 2 : baromètre de
Toricelli
figure 3 : relation
fondamentale de la statique des fluides
Considérons un petit volume centré en (x,y,z) de côtés, petits,dx, dy et dz. Le fluide extérieur exerce des forces de pression sur toutes les faces ;de plus, il y a le poids du volume exercé au centre de celui-ci. A l'équilibre, la somme vectorielle des forces est nulle.
En projetant sur Ox, on obtient
soit,
ce qui entraine :
On a de même
Sur l'axe des z, on obtient :
ce qui entraine :
p ne dépend que de z et
on peut écrire :
Le vecteur gradient étant défini comme le
vecteur dont les composantes sont les dérivées partielles par
rapport à x, y et
z,
on peut écrire la relation fondamentale de la statique des fluides sous
la forme :
Le gradient indique les variations de la fonction en fonction de la direction ;on parlera par exemple du gradient vertical de température, la température baissant en moyenne d'une valeur proche de 1K pour 150 mètres.
Dans une première modélisation, considérons l'atmosphère
en équilibre dans le champ de pesanteur
supposé uniforme, et, ce qui est moins réaliste, à
température constante.
D'après la relation de la statique des fluides, on a
La loi des gaz parfaits, qui s'écrit
où m est la masse du gaz,
n le nombre de moles et M la
masse molaire, permet de tirer la masse volumique
d'où
et
d'où, en intégrant entre le sol et l'altitude
:
étant la pression au sol. Il y a une décroissance exponentielle de
la pression avec l'altitude.
Mgz est l'énergie potentielle de pesanteur pour
une mole. Le facteur
que l'on retrouve dans toute la physique, car il indique la répartition
à l'équilibre d'un ensemble de molécules à
température donnée dans un champ de forces, s'appelle
facteur de Boltzmann.
E est ici l'énergie pour une mole de particules.
Associé à l'energie E d'une molécule,
il s'écrit 
k étant la constante de Boltzmann,
de valeur numérique 
la valeur numérique de R étant 
Cette constante est une des constantes fondamentales de la physique.
L'hydrostatique est la statique de l'eau, c'est-à-dire d'un fluide non
compressible, de masse volumique constante. On a alors
avec
La pression p ne dépend que de z, et a la même valeur en tout point d'un plan horizontal à l'intérieur du fluide. C'est le principe des vases communiquants, qui s'applique par exemple pour un tube en U.
On a en intégrant
,
soit
que l'on écrit le plus souvent
ou
Pour l'eau,
est voisin de
et g voisin de
Si la profondeur augmente de 10m
la pression augmente de
soit 1bar
Pour un gaz, la masse volumique est très faible, et, si les dimensions ne sont pas trop grandes, on peut admettre que la pression ne varie pas à l'intérieur du récipient et l'on parle de la pression du gaz dans le récipient. Ce n'est évidemment pas le cas d'un ballon, où la différence des forces de pression entre le bas et le haut est à l'origine de la poussée d'Archimède, qui fait monter le ballon.
Au point de vue numérique, pour l'air, dans les conditions normales de
températures et de pression (CNTP : p=1bar et
;à ne pas confondre avec l'état standard de la chimie où seule
la pression égale à 1bar est requise), la
masse volumique est voisine de
Cela fait pour 1m de hauteur une différence de
pression de
Reprenons l'étude du baromètre de Toricelli ;à l'extérieur
règne la pression
;en un point A à l'intérieur du tube et au
niveau de la surface libre, on a aussi
;la pression étant nulle dans le vide au dessus du mercure, on peut
appliquer la loi de l'hydrostatique entre le haut du mercure dans le tube et
la point A :
On retrouve ainsi la hauteur de 76cm de mercure
correspondant à
La résultante des forces de pression exercés sur un corps s'appelle la poussée d'Archimède appliqué à ce corps.
Considérons un volume de fluide à l'équilibre. Il est soumis
à son poids et à la résultante des forces de pression
exercées par le fluide à l'extérieur du volume
considéré. La somme des forces étant nulle, la poussée
d'Archimède est
figure 4 : la poussée
d'Archimède
Remplaçons le volume précédent par un corps de même forme. Les forces de pression n'ont pas changé, de même que la poussée d'Archimède. Il est donc soumis à son poids et à la poussée d'Archimède, force verticale ascendante, égale au poids du fluide déplacé.
Si le poids est supérieur à la poussée, le corps tombe ;si le poids est inférieur, il monte, et, s'il s'agit d'un corps dans l'eau, il flottera lorsque son poids sera égal au poids en eau du volume immergé, la poussée d'Archimède dans l'air étant négligeable devant la poussée d'Archimède dans l'eau.
Dans le cas d'un iceberg, si V est le volume de glace
et V' le volume immergé, on a à
l'équilibre :
Les 9/10 de la glace sont immergés :attention au Titanic !
Le poids s'applique au centre d'inertie du corps ;la poussée s'exerce au centre d'inertie du fluide déplacé, qui est le centre de poussée ;l'équilibre sera stable si le centre de poussée se trouve au dessus et sur la même verticale que le centre d'inertie. Pour cette raison, la quille des navires est lestée.
Un corps est d'autant plus chaud que l'agitation désordonnée des molécules qui le composent est plus grande. C'est l'agitation thermique.
Le principe zéro de la thermodynamique dit que deux corps en contact thermique se mettent à la même température, en égalisant leur énergie d'agitation moyenne, qui est donc identique pour tous les corps à la même température. Cette propriété est une conséquence des multiples chocs au cours desquels l'énergie d'agitation tend à s'égaliser quelles que soient les molécules en présence.
La température est alors la mesure de l'énergie moyenne d'agitation thermique.
Pour la mesurer, il faut choisir un phénomène particulier :on choisit le gaz parfait, qui a un comportement particulièrement simple en fonction de la température.
Le gaz parfait monoatomique est un modèle de gaz formé de particules ponctuelles et sans intéraction. Ses propriétés sont étudiées au moyen de la théorie cinétique des gaz, que l'on étudiera au paragraphe suivant.
Il en résulte que, pour un gaz parfait, le produit
pV
pression
volume,
est proportionnel au nombre de moles et à l'énergie moyenne du gaz,
donc à la température ;l'équation d'état du gaz parfait
pour une mole est de la forme pV = RT, R étant
une constante, appelée constante des gaz parfaits.
Le rapport de deux températures est donc défini par le rapport du
produit
pression
volume
aux deux températures considérées de la même quantité
de gaz parfait
:
Pour en terminer avec la définition de la température, il suffit de
se donner la température d'un point particulier ;l'unité de la
température absolue étant le Kelvin
(K), on fixe, par convention, la température du
point triple de l'eau (point de pression et de température bien
déterminés où l'eau peut se trouver sous les trois états
solide, liquide et gaz) à 273,16K
Cette convention a été choisie pour faire coïncider
1K avec
(degré Celsius), unité qui existait déjà auparavant ;en
effet, avec la convention choisie, à
(glace fondante sous 1bar) correspond
273,15K, et à
(température d'ébullition de l'eau sous 1bar
) correspond 373,15K, d'où
On prend en général
La valeur de la constante R des gaz parfaits est alors
de
La question qui se pose maintenant est celle de la mesure des températures. En effet, le gaz parfait est un modèle et non un gaz véritable. Comment mesurer la température ?
C'est un fait expérimental que le comportement de tous les gaz réels se rapproche de celui du gaz parfait à faible pression (pressions évanescentes) ;cela tient au fait qu'aux faibles pressions, les molécules de gaz s'éloignent les unes des autres, et les interactions entre molécules deviennent négligeables.
On peut mesurer les températures avec un thermomètre à gaz, utilisant un gaz réel sous faible pression.
Ce thermomètre sert à mesurer avec précision des points fixes dont on se sert ensuite pour étalonner les thermomètres usuels.
Les thermomètres usuels sont basés sur d'autres propriétés physiques dépendant de la température :dilatation (thermomètres à alcool et à mercure), résistance des métaux (thermomètres à résistance) ou des semi-conducteurs (thermistances), fém entre 2 soudures portées à des températures différentes (thermocouples), phénomènes optiques (pyromètres) etc...
L'étude du gaz parfait se fait facilement en se servant d'un théorème ancien mais très utile appelé théorème du Viriel de Clausius.
Il donne la valeur moyenne dans le temps de l'énergie cinétique d'un système à N particules.
Pour un tel système, en désignant par
,
et
les vecteurs position, viresse, quantité de mouvement et force
s'exerçant sur la particule i, on a, en utilisant
les propriétés d'un produit de dérivées et la relation
fondamentale de la dynamique dans le référentiel supposé
galiléen,
Posons
La valeur moyenne dans le temps de
notée
est égale à
Or, dans un récipient,
et
sont bornés, G(T)-G(0) est borné et
Il s'ensuit que
où
est le Viriel.
Le gaz parfait monoatomique est un modèle de gaz constitué de particules de masse m ponctuelles et sans interactions. Ces particules sont animées d'un mouvement d'agitation thermique désordonné.
Le calcul de la pression peut se faire directement, mais nous le ferons à l'aide du Viriel de Clausius.
Les particules étant sans interaction, les seules forces subies par les
particules sont les forces de pression exercées par les parois. Si l'on
prend un élément de surface dS, sa
contribution au Viriel est
car, vus du point O, la surface dS étant petite,
tous les
ont la même valeur
et
représente la force de pression due à tous les chocs de la paroi sur
les particules.
figure 5 : théorie
cinétique des gaz
représente 3 fois le volume du cône issu de O s'appuyant sur
dS, soit
et
d'où, en intégrant sur toute la surface de l'enceinte,
Or
L'énergie du gaz étant ici uniquement sous forme cinétique,
est en fait l'énergie contenue dans le corps, c'est-à-dire son
énergie interne, notée U, et
La définition de la température nous a amené à poser
pV=RT pour une mole, donc
pV=nRT pour n moles, d'où
et
est proportionnelle à l'énergie d'agitation moyenne d'une particule
;T'est donc bien la mesure de l'énergie moyenne
d'agitation thermique.
La seule énergie d'un gaz parfait monoatomique est sous forme
d'énergie cinétique microscopique. Sa valeur moyenne pour
N molécules est
U est l'énergie interne du gaz.
est la vitesse quadratique, définie comme la racine carrée de la
moyenne du carré de la vitesse.
On a
en introduisant la constante de Boltzmann k telle que
On en tire avec
Faisons une application numérique pour l'hydrogène à
273K :
ce qui est une vitesse très grande.
Pour une molécule d'oxygène ou d'azote composant l'air, à la
température ambiante, la vitesse d'agitation thermique est environ 4 fois
plus faible (masse molaire de 32 à la place de 2) et de l'ordre de
vitesse supérieure à celle du son.
L'énergie cinétique fait intervenir les 3 composantes de la vitesse, soit 3 parmètres qui interviennent au carré par une contribution quadratique.
Le gaz étant isotrope, la contribution de chaque paramètre est
égale au tiers de l'énergie totale. Comme on a pour une particule
cela fait
pour chaque contribution quadratique d'un paramètre.
L'énergie moyenne d'agitation thermique étant la même pour tous
les corps à une température donnée, on en tire le
théorème de l'équirépartition de l'énergie
:la valeur moyenne de l'énergie de toute contribution
quadratique d'un paramètre est égale à
Appliquons le théorème précédent au gaz diatomique. Pour
une molécule diatomique, il faut faire intervenir, en plus des 3
paramètres de la vitesse de translation, 2 paramètres de rotation
(le moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation étant
négligeable), d'où une énergie moyenne par molécule de
soit
par mole.
A haute température intervient la vibration, avec 2 contributions quadratiques
(énergie cinétique et énergie potentielle de la force de rappel),
soit 
par mole à haute température.
Le comportement d'un gaz réel est proche de celui d'un gaz parfait à basse pression, mais il diffère de plus en plus au fur et à mesure que la pression augmente et que l'on se rapproche du passage à l'état liquide.
Ce comportament est étudié expérimentalement à l'aide des coefficients thermoélastiques, décrivant le comportement mécanique du corps suivant sa température.
Il existe trois coefficients thermoélastiques :
coefficient de dilatation isobare (à pression constante), ramené
à l'unité de volume
coefficient d'augmentation de pression isochore (à volume constant)
coefficient de compressibilité isotherme (le volume diminue lorsque la
pression augmente,
).
Pour un gaz parfait, d'équation pV=nRT, on a
et
De même,
et
On a la relation
:
soit
et
Ces lois, qui étaient à l'origine des lois expérimentales, ne sont que des conséquences de la loi des gaz parfaits pV=nRT pour n moles de gaz (ce qui ne retire aucun mérite aux inventeurs des lois !):
Loi de Boyle-Mariotte :à T constant, le produit pV est constant.
Loi de Gay-Lussac :à p constant, V est proportionnel à T.
Loi de Charles :à V constant, p est proportionnel à T.
Loi d'Avogadro-Ampère :des volumes égaux de gaz, dans les mêmes conditions de température et de pression, contiennent le même nombre de moles, donc de molécules. Dans les conditions normales (CNTP :p=1bar, T =273K), le volume molaire est de 22,4L.
Ces lois sont rigoureuses pour les gaz parfaits ;elles sont approchées pour les gaz réels et s'appliquent d'autant mieux que la pression est faible. Elles sont fausses au voisinage du passage gaz-liquide.
Loi de Dalton des mélanges :pour un mélange de 2 gaz parfaits sans intéraction entre les 2 gaz, le mélange se comporte comme un gaz parfait (aucune interaction).
On a donc, pour chacun des gaz seul dans le volume, 
et pour le mélange, 
La pression totale est la somme des pressions partielles, c'est-à-dire
la somme des pressions qu'aurait chaque gaz s'il occupait seul le volume
total :
et 
où 
est la fraction molaire du gaz i.
Densité d'un gaz :c'est le rapport de la masse volumique du gaz sur
celui de l'air dans les mêmes conditions de tepérature et pression
;or, pour un gaz parfait, 
d'où 
et, avec 
